Реши уравнения: (2x-5)/(x+5) - 4 = 0 и 8/x = 3x + 2; найди корни уравнения x²/(x²+1) = 7x/(x²+1) и (8y-5)/y = 9y/(y+2)

632. Решим уравнения: а) $\frac{2x-5}{x+5} - 4 = 0$ Чтобы решить уравнение, сначала избавимся от дроби. Для этого умножим обе части уравнения на $(x+5)$. Важно помнить, что $x$ не должно равняться $-5$, иначе деление на ноль. $2x - 5 - 4(x + 5) = 0$ $2x - 5 - 4x - 20 = 0$ $-2x - 25 = 0$ $-2x = 25$ $x = -\frac{25}{2} = -12.5$ Проверим, что $x = -12.5$ не делает знаменатель исходной дроби равным нулю. $x + 5 = -12.5 + 5 = -7.5$, то есть всё в порядке. **Ответ: $x = -12.5$** д) $\frac{8}{x} = 3x + 2$ Чтобы решить уравнение, сначала избавимся от дроби. Для этого умножим обе части уравнения на $x$. Важно помнить, что $x$ не должно равняться $0$, иначе деление на ноль. $8 = 3x^2 + 2x$ $3x^2 + 2x - 8 = 0$ Это квадратное уравнение. Решим его через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$ $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 + 10}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-2 - 10}{6} = \frac{-12}{6} = -2$ Проверим, что найденные корни не равны нулю, так как на ноль делить нельзя. Оба корня подходят. **Ответ: $x_1 = \frac{4}{3}$, $x_2 = -2$** 633. Найдем корни уравнения: а) $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{7x}{x^2+1}$ Умножим обе части уравнения на $x^2+1$. Т.к. $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2+1$ всегда больше нуля. Значит, можно смело умножать, чтобы избавиться от дроби. $x^2 = 7x$ Перенесем все в одну сторону: $x^2 - 7x = 0$ Вынесем $x$ за скобку: $x(x - 7) = 0$ Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо $x = 0$, либо $x - 7 = 0$. Если $x - 7 = 0$, то $x = 7$. **Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$** г) $\frac{8y-5}{y} = \frac{9y}{y+2}$ Домножим крест-накрест: $(8y-5)(y+2) = 9y \cdot y$ Раскроем скобки: $8y^2 + 16y - 5y - 10 = 9y^2$ $8y^2 + 11y - 10 = 9y^2$ Перенесем все в одну сторону: $y^2 - 11y + 10 = 0$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$ $y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10$ $y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$ Теперь нужно проверить, не обращаются ли знаменатели в нуль при этих значениях $y$. Если $y = 0$ или $y = -2$, то делить на ноль нельзя. В нашем случае $y_1 = 10$ и $y_2 = 1$, так что все в порядке. **Ответ: $y_1 = 10$, $y_2 = 1$**