Можешь доказать неравенство: 1) 2a² – 8a + 16 > 0

Конечно, давай докажем эти неравенства! Я покажу основные шаги, а ты сможешь повторить их для других примеров. 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$ * Разделим обе части неравенства на 2: $a^2 - 4a + 8 > 0$ * Выделим полный квадрат: $(a - 2)^2 + 4 > 0$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, то $(a - 2)^2 \ge 0$. Следовательно, $(a - 2)^2 + 4$ всегда больше 0. * **Ответ:** Неравенство верно для всех $a$. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$ * Выделим полный квадрат: $(2b + 1)^2 + 2 > 0$. Так как $(2b + 1)^2 \ge 0$, то $(2b + 1)^2 + 2$ всегда больше 0. * **Ответ:** Неравенство верно для всех $b$. 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ * Умножим обе части неравенства на 2: $2a^2 + 2ab + 2b^2 \ge 0$ * Преобразуем: $a^2 + a^2 + 2ab + b^2 + b^2 \ge 0$ * Выделим полный квадрат: $a^2 + (a + b)^2 + b^2 \ge 0$. Сумма квадратов всегда неотрицательна. * **Ответ:** Неравенство верно для всех $a$ и $b$. 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ * Раскроем скобки: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$ * Упростим: $6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$ * Приведем подобные члены: $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$ * Сократим $12a$ с обеих сторон: $2a^2 - 33 > -36$ * Перенесем -36 в левую часть: $2a^2 + 3 > 0$ * Разделим на 2: $a^2 + \frac{3}{2} > 0$. Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2 + \frac{3}{2}$ всегда больше 0. * **Ответ:** Неравенство верно для всех $a$. 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$ * Раскроем скобки: $a^2 - 3a > 5a - 20$ * Перенесем все в левую часть: $a^2 - 8a + 20 > 0$ * Выделим полный квадрат: $(a - 4)^2 + 4 > 0$. Так как $(a - 4)^2 \ge 0$, то $(a - 4)^2 + 4$ всегда больше 0. * **Ответ:** Неравенство верно для всех $a$. 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$ * Раскроем скобки: $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \le 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$ * Упростим: $a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$ * Перенесем все в правую часть: $0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$ * Выделим полный квадрат: $0 \le (a + 3b)^2$. Квадрат любого числа всегда неотрицателен. * **Ответ:** Неравенство верно для всех $a$ и $b$. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как доказывать такие неравенства! Если что, спрашивай ещё!