Вычислить значение выражения (log₅2/log₅6) + (log₄3/log₄6)

Прежде всего, давай вспомним формулу перехода к новому основанию логарифма: $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Она нам поможет упростить выражение. 1. Представим $\log_5 6$ и $\log_4 6$ как суммы логарифмов: $$\log_5 6 = \log_5 (2 \cdot 3) = \log_5 2 + \log_5 3$$ $$\log_4 6 = \log_4 (2 \cdot 3) = \log_4 2 + \log_4 3$$ 2. Подставим эти выражения в исходное выражение: $$\frac{\log_5 2}{\log_5 2 + \log_5 3} + \frac{\log_4 3}{\log_4 2 + \log_4 3}$$ 3. Заметим, что $\log_4 2 = \frac{1}{2}$, так как $4^{1/2} = 2$. Тогда: $$\frac{\log_5 2}{\log_5 2 + \log_5 3} + \frac{\log_4 3}{\frac{1}{2} + \log_4 3}$$ 4. Приведём дроби к общему знаменателю. Домножим первую дробь на $(\frac{1}{2} + \log_4 3)$, а вторую на $(\log_5 2 + \log_5 3)$: $$\frac{\log_5 2 \cdot (\frac{1}{2} + \log_4 3) + \log_4 3 \cdot (\log_5 2 + \log_5 3)}{(\log_5 2 + \log_5 3) \cdot (\frac{1}{2} + \log_4 3)}$$ 5. Раскроем скобки в числителе: $$\frac{\frac{1}{2} \log_5 2 + \log_5 2 \log_4 3 + \log_4 3 \log_5 2 + \log_4 3 \log_5 3}{(\log_5 2 + \log_5 3) \cdot (\frac{1}{2} + \log_4 3)}$$ 6. Упростим числитель: $$\frac{\frac{1}{2} \log_5 2 + 2 \log_5 2 \log_4 3 + \log_4 3 \log_5 3}{(\log_5 2 + \log_5 3) \cdot (\frac{1}{2} + \log_4 3)}$$ К сожалению, дальше упростить без численных методов не получается. Если есть калькулятор, можно посчитать значения логарифмов и получить ответ. **Ответ:** $\frac{\log_5 2}{\log_5 6} + \frac{\log_4 3}{\log_4 6} = \frac{\frac{1}{2} \log_5 2 + 2 \log_5 2 \log_4 3 + \log_4 3 \log_5 3}{(\log_5 2 + \log_5 3) \cdot (\frac{1}{2} + \log_4 3)}$