Реши задачи по геометрии: 1) Найди углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен 56°; 2) Найди градусную меру угла СМК (рис. 268); 3) Какова градусная мера угла А, изображённого на рисунке 269?; 4) В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°, ∠B = 30°. На катете ВС отметили точку D такую, что ∠ADC = 60°. Найди катет ВС, если CD = 5 см.

1. У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Значит, если угол при вершине равен $56^\circ$, то на два угла при основании остаётся $180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$. Каждый из углов при основании равен $124^\circ : 2 = 62^\circ$. 2. Угол $CMK$ и угол $72^\circ$ — смежные, значит, их сумма равна $180^\circ$. Тогда угол $CMK = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$. 3. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. В треугольнике $AEF$ известны два угла: $15^\circ$ и $64^\circ$. Значит, угол $A = 180^\circ - 15^\circ - 64^\circ = 101^\circ$. 4. **Допущение:** Треугольник $ABC$ — прямоугольный, $\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 30^\circ$. Тогда $\angle A = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $ADC$. В нём $\angle ADC = 60^\circ$ (дано). Значит, $\angle DAC = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Тогда $\angle BAD = \angle BAC - \angle DAC = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$. Рассмотрим треугольник $ABD$. В нём $\angle BAD = 30^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$, то есть треугольник $ABD$ — равнобедренный, и $AD = BD$. В прямоугольном треугольнике $ADC$ катет $CD = 5$ см лежит против угла $30^\circ$, значит, гипотенуза $AD$ в два раза больше, то есть $AD = 2 \cdot CD = 2 \cdot 5 = 10$ см. Тогда $BD = AD = 10$ см. $BC = BD + DC = 10 + 5 = 15$ см. **Ответ:** 1. $62^\circ$ 2. $108^\circ$ 3. $101^\circ$ 4. $15$ см