Помоги вычислить значения тригонометрических выражений в номере 501, не используя калькулятор.

Привет! Давай решим эти примеры вместе. **Номер 501** 1) Здесь нужно вспомнить формулу двойного угла для синуса: $2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{8}$. Тогда: $$2 \sin{\frac{\pi}{8}} \cos{\frac{\pi}{8}} = \sin{\frac{2\pi}{8}} = \sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 2) Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos^2(x) - \sin^2(x) = \cos(2x)$. Тут тоже $x = \frac{\pi}{8}$. Поэтому: $$\cos^2{\frac{\pi}{8}} - \sin^2{\frac{\pi}{8}} = \cos{\frac{2\pi}{8}} = \cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3) Вспоминаем формулу тангенса двойного угла: $\frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)} = \tan(2x)$. В нашем случае $x = \frac{\pi}{8}$. Значит: $$\frac{2 \tan{\frac{\pi}{8}}}{1 - \tan^2{\frac{\pi}{8}}} = \tan{\frac{2\pi}{8}} = \tan{\frac{\pi}{4}} = 1$$ 4) Сначала упростим выражение в скобках. Вспоминаем, что $\frac{\pi}{4}$ это 45 градусов, а $\frac{\sqrt{2}}{2}$ это $\cos(\frac{\pi}{4})$ или $\sin(\frac{\pi}{4})$. Поэтому: $$\frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos{\frac{\pi}{8}} + \sin{\frac{\pi}{8}})^2 = \frac{\sqrt{2}}{2} - (\cos^2{\frac{\pi}{8}} + 2\cos{\frac{\pi}{8}}\sin{\frac{\pi}{8}} + \sin^2{\frac{\pi}{8}})$$ Так как $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, то: $$\frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + 2\cos{\frac{\pi}{8}}\sin{\frac{\pi}{8}}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \sin{\frac{\pi}{4}}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1$$ **Ответы:** 1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 3) $1$ 4) $-1$