Ты просишь решить задания из контрольной работы по алгебре: упростить выражения, решить неравенства, решить уравнения, решить системы уравнений, построить графики функций, найти значения выражений.

Привет! Давай решим задания из контрольной работы. **1 Вариант** 1. Упростим выражение $\frac{4a^2}{a^2-4} \cdot \frac{a+2}{2a}$. * Сокращаем: $\frac{4a^2}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a+2}{2a} = \frac{2a}{a-2}$. 2. Решим неравенство $11x - (3x+4) > 9x - 7$. * Раскрываем скобки: $11x - 3x - 4 > 9x - 7$. * Упрощаем: $8x - 4 > 9x - 7$. * Переносим: $-4 + 7 > 9x - 8x$. * Получаем: $3 > x$, то есть $x < 3$. 3. Решим уравнение $\frac{2}{x-3} = \frac{7}{x+1}$. * Крест-накрест: $2(x+1) = 7(x-3)$. * Раскрываем скобки: $2x + 2 = 7x - 21$. * Переносим: $2 + 21 = 7x - 2x$. * Получаем: $23 = 5x$, значит, $x = \frac{23}{5} = 4.6$. 4. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 + 2y = 33. \\ \end{cases}$$ * Выразим $x$ из первого уравнения: $x = y + 1$. * Подставим во второе уравнение: $(y+1)^2 + 2y = 33$. * Раскрываем скобки: $y^2 + 2y + 1 + 2y = 33$. * Упрощаем: $y^2 + 4y - 32 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-32)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-4 \pm 12}{2}$. * Получаем $y_1 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$ и $y_2 = \frac{-4 - 12}{2} = -8$. * Находим $x_1 = 4 + 1 = 5$ и $x_2 = -8 + 1 = -7$. * **Ответ:** $(5, 4)$ и $(-7, -8)$. 5. а) Построим график функции $y = 2x - 3$. * Это прямая линия. Отметим две точки, например, $(0, -3)$ и $(1, -1)$, и проведём через них прямую. б) Найдём значение $x$ при $y = -5$. * Подставляем: $-5 = 2x - 3$. * Решаем: $-5 + 3 = 2x$, значит, $-2 = 2x$, и $x = -1$. 6. Решим неравенство $2x^2 - 9x + 4 < 0$. * Найдём корни квадратного уравнения $2x^2 - 9x + 4 = 0$. * $x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4}$. * Получаем $x_1 = \frac{9 + 7}{4} = 4$ и $x_2 = \frac{9 - 7}{4} = \frac{1}{2}$. * Так как коэффициент при $x^2$ положительный, парабола направлена вверх. Значит, решение неравенства — интервал между корнями: $\frac{1}{2} < x < 4$. 7. Найдём значение выражения $\frac{a^3}{4}$ при $a = 3\sqrt{2}$. * Подставляем: $\frac{(3\sqrt{2})^3}{4} = \frac{3^3 \cdot (\sqrt{2})^3}{4} = \frac{27 \cdot 2\sqrt{2}}{4} = \frac{54\sqrt{2}}{4} = \frac{27\sqrt{2}}{2}$. **2 Вариант** 1. Упростим выражение $\frac{x+1}{3x} : \frac{x^2-1}{6x^2}$. * Деление - это умножение на перевернутую дробь: $\frac{x+1}{3x} \cdot \frac{6x^2}{x^2-1}$. * Разложим на множители: $\frac{x+1}{3x} \cdot \frac{6x^2}{(x-1)(x+1)}$. * Сокращаем: $\frac{1}{3x} \cdot \frac{6x^2}{x-1} = \frac{2x}{x-1}$. 2. Решим неравенство $3 + 10x < 5x - (1 - x)$. * Раскрываем скобки: $3 + 10x < 5x - 1 + x$. * Упрощаем: $3 + 10x < 6x - 1$. * Переносим: $10x - 6x < -1 - 3$. * Получаем: $4x < -4$, значит, $x < -1$. 3. Решим уравнение $\frac{6}{x+5} = \frac{4}{3-x}$. * Крест-накрест: $6(3-x) = 4(x+5)$. * Раскрываем скобки: $18 - 6x = 4x + 20$. * Переносим: $18 - 20 = 4x + 6x$. * Получаем: $-2 = 10x$, значит, $x = -\frac{2}{10} = -0.2$. 4. Решим систему уравнений: $$\begin{cases} y - x = 2, \\ y^2 + 4x = 13. \\ \end{cases}$$ * Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x + 2$. * Подставим во второе уравнение: $(x+2)^2 + 4x = 13$. * Раскрываем скобки: $x^2 + 4x + 4 + 4x = 13$. * Упрощаем: $x^2 + 8x - 9 = 0$. * Решаем квадратное уравнение: $x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4(1)(-9)}}{2(1)} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}$. * Получаем $x_1 = \frac{-8 + 10}{2} = 1$ и $x_2 = \frac{-8 - 10}{2} = -9$. * Находим $y_1 = 1 + 2 = 3$ и $y_2 = -9 + 2 = -7$. * **Ответ:** $(1, 3)$ и $(-9, -7)$. 5. а) Построим график функции $y = -2x + 3$. * Это прямая линия. Отметим две точки, например, $(0, 3)$ и $(1, 1)$, и проведём через них прямую. б) Найдём значение $x$ при $y = -3$. * Подставляем: $-3 = -2x + 3$. * Решаем: $-3 - 3 = -2x$, значит, $-6 = -2x$, и $x = 3$. 6. Решим неравенство $3x^2 - 4x + 1 < 0$. * Найдём корни квадратного уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$. * $x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}$. * Получаем $x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1$ и $x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$. * Так как коэффициент при $x^2$ положительный, парабола направлена вверх. Значит, решение неравенства — интервал между корнями: $\frac{1}{3} < x < 1$. 7. Найдём значение выражения $\frac{y^3}{9}$ при $y = 2\sqrt{3}$. * Подставляем: $\frac{(2\sqrt{3})^3}{9} = \frac{2^3 \cdot (\sqrt{3})^3}{9} = \frac{8 \cdot 3\sqrt{3}}{9} = \frac{24\sqrt{3}}{9} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$.