Ты просишь решить задачи по геометрии: найти сторону равностороннего треугольника, угол в четырехугольнике, большее основание трапеции, площадь трапеции на клетчатой бумаге и выбрать верное утверждение.

Задание 1. В равностороннем треугольнике медиана является также высотой и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Тогда медиана, проведенная к этой стороне, равна $9\sqrt{3}$. Медиана в равностороннем треугольнике равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Составим уравнение: $$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$$ $$a = \frac{2 \cdot 9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$ $$a = 18$$ **Ответ: сторона треугольника равна 18.** Задание 2. Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$, а угол $ACD$ опирается на ту же дугу. Значит, $\angle ACD = \angle ABD = 16^{\circ}$. Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$, а угол $CBD$ опирается на ту же дугу. Значит, $\angle CBD = \angle CAD = 32^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$. Рассмотрим треугольник $BCD$: $$\angle BCD + \angle CBD + \angle BDC = 180^{\circ}$$ $$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD$$ $$\angle BDC = 180^{\circ} - \angle CBD - (\angle BCA + \angle ACD)$$ Угол $BAC$ опирается на дугу $BC$, а угол $BDC$ опирается на ту же дугу. Значит, $\angle BAC = \angle BDC$. $$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 16^{\circ} + 32^{\circ} = 48^{\circ}$$ Рассмотрим треугольник $ABC$: $$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ}$$ $$\angle BCA = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC$$ $$\angle BCA = 180^{\circ} - \angle BDC - \angle ABC$$ $$\angle BCA = 180^{\circ} - (180^{\circ} - \angle CBD - (\angle BCA + \angle ACD)) - \angle ABC$$ $$\angle BCA = \angle CBD + \angle BCA + \angle ACD - \angle ABC$$ $$0 = \angle CBD + \angle ACD - \angle ABC$$ $$\angle ABC = \angle CBD + \angle ACD$$ $$\angle ABC = 32^{\circ} + 16^{\circ} = 48^{\circ}$$ $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$ $\angle C = 180^{\circ} - 48^{\circ} - 32^{\circ} + 16^{\circ}$ $\angle C = 116^{\circ}$ **Ответ: 116** Задание 3. **Допущение:** Трапеция равнобедренная. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $m = \frac{a+b}{2} = \frac{12+19}{2} = 15,5$ Диагонали равнобедренной трапеции делят среднюю линию на три отрезка, больший из которых равен средней линии, то есть $15,5$. **Ответ: 15,5** Задание 4. Чтобы найти площадь трапеции на клетчатой бумаге, нужно посчитать количество клеток, которые составляют основания и высоту трапеции. Верхнее основание (меньшее) состоит из 3 клеток, нижнее основание (большее) состоит из 5 клеток. Высота трапеции (расстояние между основаниями) равна 2 клеткам. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота. Подставляем значения: $S = \frac{3+5}{2} \cdot 2 = \frac{8}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8$ Итак, площадь трапеции равна 8 квадратных единиц (так как каждая клетка имеет размер 1x1). **Ответ: 8** Задание 5. 1) Вертикальные углы равны – это верно. 2) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности – это не всегда верно. Две окружности пересекаются, если расстояние между их центрами меньше суммы их радиусов и больше разности их радиусов. 3) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам – это верно только для параллелограмма (частный случай трапеции). **Ответ: 1**