Найди решение неравенства (x-1)/(x²+4x+2) < 0

Для решения неравенства $\frac{x-1}{x^2+4x+2} < 0$ нужно найти, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки. 1. Найдем корни числителя: $x - 1 = 0$, отсюда $x = 1$. 2. Найдем корни знаменателя: $x^2 + 4x + 2 = 0$. Используем квадратное уравнение $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. В нашем случае $a = 1$, $b = 4$, $c = 2$. $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$. $x_1 = \frac{-4 + \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 + 2\sqrt{2}}{2} = -2 + \sqrt{2} \approx -0.59$. $x_2 = \frac{-4 - \sqrt{8}}{2} = \frac{-4 - 2\sqrt{2}}{2} = -2 - \sqrt{2} \approx -3.41$. Теперь у нас есть три точки: $-2 - \sqrt{2}$, $-2 + \sqrt{2}$ и $1$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Нужно проверить знак выражения на каждом интервале. * $x < -2 - \sqrt{2}$ (например, $x = -4$): $\frac{-4 - 1}{(-4)^2 + 4(-4) + 2} = \frac{-5}{16 - 16 + 2} = \frac{-5}{2} < 0$. * $-2 - \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2}$ (например, $x = -1$): $\frac{-1 - 1}{(-1)^2 + 4(-1) + 2} = \frac{-2}{1 - 4 + 2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. * $-2 + \sqrt{2} < x < 1$ (например, $x = 0$): $\frac{0 - 1}{0^2 + 4(0) + 2} = \frac{-1}{2} < 0$. * $x > 1$ (например, $x = 2$): $\frac{2 - 1}{2^2 + 4(2) + 2} = \frac{1}{4 + 8 + 2} = \frac{1}{14} > 0$. Итак, неравенство выполняется на интервалах $x < -2 - \sqrt{2}$ и $-2 + \sqrt{2} < x < 1$. **Ответ:** $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{2}) \cup (-2 + \sqrt{2}; 1)$.