Задание 91:
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C нужно найти синус, косинус и тангенс углов A и B, когда известны длины сторон.
a) Дано: BC = 8, AB = 17. Начнём с угла A:
- Синус угла A равен отношению противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): $\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$.
- Косинус угла A равен отношению прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB). Сначала найдём AC по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$. Тогда $\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$.
- Тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$.
Теперь для угла B:
- Синус угла B равен отношению противолежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): $\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{15}{17}$.
- Косинус угла B равен отношению прилежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): $\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{8}{17}$.
- Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$.
б) Дано: BC = 17, AC = 20. Для угла A:
- $\sin A = \frac{17}{\sqrt{689}}$
- $AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{17^2 + 20^2} = \sqrt{289 + 400} = \sqrt{689}$. $\cos A = \frac{20}{\sqrt{689}}$
- $\tan A = \frac{17}{20} = 0.85$
Для угла B:
- $\sin B = \frac{20}{\sqrt{689}}$
- $\cos B = \frac{17}{\sqrt{689}}$
- $\tan B = \frac{20}{17} \approx 1,18$
в) Дано: BC = 1, AC = 2. Для угла A:
- $\sin A = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0,45$
- $AB = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$. $\cos A = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0,89$
- $\tan A = \frac{1}{2} = 0,5$
Для угла B:
- $\sin B = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0,89$
- $\cos B = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0,45$
- $\tan B = \frac{2}{1} = 2$
г) Дано: AC = 24, AB = 25. Для угла A:
- $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$
- $\sin A = \frac{7}{25} = 0,28$
- $\cos A = \frac{24}{25} = 0,96$
- $\tan A = \frac{7}{24} \approx 0,29$
Для угла B:
- $\sin B = \frac{24}{25} = 0,96$
- $\cos B = \frac{7}{25} = 0,28$
- $\tan B = \frac{24}{7} \approx 3,43$
Задание 92:
Тут нужно построить углы, зная значения тангенса, косинуса или синуса. Для этого можно использовать таблицу значений тригонометрических функций или калькулятор.
a) $\tan \alpha = \frac{1}{2} = 0.5$. Это значит, что угол $\alpha$ примерно равен $26,5$ градусам.
б) $\tan \alpha = \frac{3}{4} = 0.75$. Угол $\alpha$ примерно равен $36,9$ градусам.
в) $\cos \alpha = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Угол $\alpha$ примерно равен $48,2$ градусам.
г) $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Это значит, что угол $\alpha$ равен $60$ градусам.
д) $\sin \alpha = \frac{1}{2}$. Это значит, что угол $\alpha$ равен $30$ градусам.
е) $\sin \alpha = 0,4$. Это значит, что угол $\alpha$ примерно равен $23,6$ градусам.
Задание 93:
Тут нужно найти синус и тангенс угла, если известен косинус или синус.
a) Дано: $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Нужно найти $\sin \alpha$ и $\tan \alpha$.
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1,73$
б) Дано: $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. Нужно найти $\sin \alpha$ и $\tan \alpha$.
$\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0,75$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1,12$
в) Дано: $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Нужно найти $\cos \alpha$ и $\tan \alpha$.
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} = 0,5$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \approx 1,73$
г) Дано: $\sin \alpha = \frac{1}{4}$. Нужно найти $\cos \alpha$ и $\tan \alpha$.
$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \approx 0,97$
$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{\sqrt{15}} \approx 0,26$
Надеюсь, теперь тебе всё понятно!
