Реши задачи 463-469 по геометрии из учебника

463. a) Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $(5-2) \cdot 180^\circ = 3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$. б) Сумма углов выпуклого шестиугольника равна $(6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$. в) Сумма углов выпуклого десятиугольника равна $(10-2) \cdot 180^\circ = 8 \cdot 180^\circ = 1440^\circ$. 464. а) Количество диагоналей выпуклого пятиугольника равно $\frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \cdot 2}{2} = 5$. б) Количество диагоналей выпуклого двенадцатиугольника равно $\frac{12(12-3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 54$. в) Количество диагоналей выпуклого двадцатипятиугольника равно $\frac{25(25-3)}{2} = \frac{25 \cdot 22}{2} = 275$. 465. а) Если каждый угол выпуклого многоугольника равен $90^\circ$, то это квадрат (или прямоугольник). У квадрата 4 стороны. б) Если каждый угол выпуклого многоугольника равен $60^\circ$, то это равносторонний треугольник. У треугольника 3 стороны. в) Если каждый угол выпуклого многоугольника равен $120^\circ$, то это правильный шестиугольник. У шестиугольника 6 сторон. г) Если каждый угол выпуклого многоугольника равен $108^\circ$, то это правильный пятиугольник. У пятиугольника 5 сторон. 466. **Допущение:** Под «сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм» подразумевается, что есть три стороны, которые меньше первой стороны на 3 мм, 4 мм и 5 мм. Пусть $x$ - длина первой стороны в мм, тогда длины остальных сторон: $x-3$, $x-4$, $x-5$. Периметр равен 8 см = 80 мм. Составим уравнение: $x + (x-3) + (x-4) + (x-5) = 80$ $4x - 12 = 80$ $4x = 92$ $x = 23$ мм. Тогда стороны равны: 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм. 467. Пусть вторая сторона равна $x$ см, тогда первая сторона равна $x+8$ см, третья сторона равна $x+8$ см, а четвертая сторона равна $3x$ см. Периметр равен 66 см. Составим уравнение: $(x+8) + x + (x+8) + 3x = 66$ $6x + 16 = 66$ $6x = 50$ $x = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8,33$ см. Тогда стороны равны: $8,33 + 8 = 16,33$ см, $8,33$ см, $16,33$ см, $3 \cdot 8,33 = 24,99$ см. 468. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Если все углы равны, то каждый угол равен $\frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$. 469. Пусть $\angle A = \angle B = \angle C = x$, тогда $\angle D = 135^\circ$. Сумма углов в четырёхугольнике равна $360^\circ$. Значит, $x + x + x + 135^\circ = 360^\circ$ $3x = 360^\circ - 135^\circ$ $3x = 225^\circ$ $x = \frac{225^\circ}{3} = 75^\circ$. То есть, $\angle A = \angle B = \angle C = 75^\circ$.