Ты просишь сравнить значения выражений и найти значение выражения

Сейчас помогу тебе разобраться с этими заданиями! **27. Сравнение значений выражений** * **а)** Сравним $\sqrt{192}$ и $\frac{1}{7-4\sqrt{3}}$ и $\frac{1}{7+4\sqrt{3}}$. Сначала упростим выражения с дробями. Избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение: $$\frac{1}{7-4\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (7+4\sqrt{3})}{(7-4\sqrt{3})(7+4\sqrt{3})} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{7+4\sqrt{3}}{49-48} = 7+4\sqrt{3}$$ $$\frac{1}{7+4\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot (7-4\sqrt{3})}{(7+4\sqrt{3})(7-4\sqrt{3})} = \frac{7-4\sqrt{3}}{49 - 16 \cdot 3} = \frac{7-4\sqrt{3}}{49-48} = 7-4\sqrt{3}$$ Теперь сравним $\sqrt{192}$ с $7+4\sqrt{3}$ и $7-4\sqrt{3}$. Заметим, что $\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$. Сравним $8\sqrt{3}$ и $7+4\sqrt{3}$. Для этого возведём оба числа в квадрат: $$(8\sqrt{3})^2 = 64 \cdot 3 = 192$$ $$(7+4\sqrt{3})^2 = 49 + 56\sqrt{3} + 16 \cdot 3 = 49 + 48 + 56\sqrt{3} = 97 + 56\sqrt{3}$$ Так как $192 < 97 + 56\sqrt{3}$, то $8\sqrt{3} < 7+4\sqrt{3}$. Сравним $8\sqrt{3}$ и $7-4\sqrt{3}$. Очевидно, что $8\sqrt{3} > 7-4\sqrt{3}$, так как $8\sqrt{3}$ положительное число, a $7-4\sqrt{3}$ меньше нуля. * **б)** Сравним $3 + 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{7} + \sqrt{10}$. Возведём оба выражения в квадрат: $$(3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$$ $$(\sqrt{7} + \sqrt{10})^2 = 7 + 2\sqrt{70} + 10 = 17 + 2\sqrt{70}$$ Теперь сравним $12\sqrt{2}$ и $2\sqrt{70}$. Разделим оба выражения на 2: $6\sqrt{2}$ и $\sqrt{70}$. Возведём в квадрат: $(6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$, $(\sqrt{70})^2 = 70$. Так как $72 > 70$, то $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$. * **в)** Сравним $\sqrt{198}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2}-7}$ и $\frac{1}{5\sqrt{2}+7}$. Упростим выражения с дробями, избавившись от иррациональности в знаменателе: $$\frac{1}{5\sqrt{2}-7} = \frac{1 \cdot (5\sqrt{2}+7)}{(5\sqrt{2}-7)(5\sqrt{2}+7)} = \frac{5\sqrt{2}+7}{50 - 49} = 5\sqrt{2}+7$$ $$\frac{1}{5\sqrt{2}+7} = \frac{1 \cdot (5\sqrt{2}-7)}{(5\sqrt{2}+7)(5\sqrt{2}-7)} = \frac{5\sqrt{2}-7}{50 - 49} = 5\sqrt{2}-7$$ Теперь сравним $\sqrt{198}$ с $5\sqrt{2}+7$ и $5\sqrt{2}-7$. Сравним $\sqrt{198}$ и $5\sqrt{2}+7$. Возведём в квадрат: $$(\sqrt{198})^2 = 198$$ $$(5\sqrt{2}+7)^2 = 25 \cdot 2 + 70\sqrt{2} + 49 = 50 + 49 + 70\sqrt{2} = 99 + 70\sqrt{2}$$ Так как $198 < 99 + 70\sqrt{2}$, то $\sqrt{198} < 5\sqrt{2}+7$. Сравним $\sqrt{198}$ и $5\sqrt{2}-7$. Очевидно, что $\sqrt{198} > 5\sqrt{2}-7$, так как $\sqrt{198}$ положительное число, а $5\sqrt{2}-7$ меньше нуля. * **г)** Сравним $2\sqrt{5} + 3$ и $\sqrt{10} + \sqrt{19}$. Возведём оба выражения в квадрат: $$(2\sqrt{5} + 3)^2 = 4 \cdot 5 + 12\sqrt{5} + 9 = 20 + 9 + 12\sqrt{5} = 29 + 12\sqrt{5}$$ $$(\sqrt{10} + \sqrt{19})^2 = 10 + 2\sqrt{190} + 19 = 29 + 2\sqrt{190}$$ Теперь сравним $12\sqrt{5}$ и $2\sqrt{190}$. Разделим на 2: $6\sqrt{5}$ и $\sqrt{190}$. Возведём в квадрат: $(6\sqrt{5})^2 = 36 \cdot 5 = 180$, $(\sqrt{190})^2 = 190$. Так как $180 < 190$, то $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$. **27. Упрощение выражений** * **в)** Упростим выражение $\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}}$ при $n = 10$. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $$\frac{n^{-5}(n^{-1})^{-9}}{n^{-4}n^{10}} = \frac{n^{-5}n^{9}}{n^{6}} = \frac{n^{4}}{n^{6}} = n^{-2} = \frac{1}{n^2}$$ Теперь подставим $n = 10$: $$\frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01$$ * **г)** Упростим выражение $\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3}$ при $c = 6$, $d = 3$. Сначала упростим выражение, используя свойства степеней: $$\frac{(cd^3)^{-2}c^{-8}}{(c^{-5})^2(d^{-3})^3} = \frac{c^{-2}d^{-6}c^{-8}}{c^{-10}d^{-9}} = \frac{c^{-10}d^{-6}}{c^{-10}d^{-9}} = d^{3}$$ Теперь подставим $d = 3$: $$3^3 = 27$$ **28. Найдите значение выражения:** * $\left(\sqrt{3\sqrt{2}} - 2\sqrt{5}\right)^2 + 3\sqrt{2}$ Предположим, что выражение должно быть таким: $(\sqrt{3\sqrt{2}} - 2\sqrt{5})^2 + 3\sqrt{2}$. Раскроем скобки: $$(\sqrt{3\sqrt{2}} - 2\sqrt{5})^2 = (\sqrt{3\sqrt{2}})^2 - 2 \cdot \sqrt{3\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{5} + (2\sqrt{5})^2 = 3\sqrt{2} - 4\sqrt{15\sqrt{2}} + 20$$ Теперь прибавим $3\sqrt{2}$: $$3\sqrt{2} - 4\sqrt{15\sqrt{2}} + 20 + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 4\sqrt{15\sqrt{2}} + 20$$ **Ответ:** * **27:** * **а):** $\sqrt{192} < 7+4\sqrt{3}$ и $\sqrt{192} > 7-4\sqrt{3}$ * **б):** $3 + 2\sqrt{2} > \sqrt{7} + \sqrt{10}$ * **в):** $\sqrt{198} < 5\sqrt{2}+7$ и $\sqrt{198} > 5\sqrt{2}-7$ * **г):** $2\sqrt{5} + 3 < \sqrt{10} + \sqrt{19}$ * **в):** 0.01 * **г):** 27 * **28:** $6\sqrt{2} - 4\sqrt{15\sqrt{2}} + 20$