63. Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{2}b$, зная, что $2 < b < 6$, нужно умножить все части неравенства на $\frac{1}{2}$:
$$2 \cdot \frac{1}{2} < b \cdot \frac{1}{2} < 6 \cdot \frac{1}{2}$$
$$1 < \frac{1}{2}b < 3$$
**Ответ: $1 < \frac{1}{2}b < 3$**
64. Чтобы оценить $3\sqrt{7}$, зная, что $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$, нужно умножить все части неравенства на 3:
$$2,6 \cdot 3 < 3\sqrt{7} < 2,7 \cdot 3$$
$$7,8 < 3\sqrt{7} < 8,1$$
**Ответ: $7,8 < 3\sqrt{7} < 8,1$**
65. Дано: $5 < a < 6$ и $4 < b < 7$
1) Чтобы оценить $a+b$, сложим два неравенства:
$$5 + 4 < a + b < 6 + 7$$
$$9 < a + b < 13$$
**Ответ: $9 < a + b < 13$**
2) Чтобы оценить $ab$, перемножим два неравенства:
$$5 \cdot 4 < ab < 6 \cdot 7$$
$$20 < ab < 42$$
**Ответ: $20 < ab < 42$**
3) Чтобы оценить $a-b$, умножим второе неравенство на -1:
$$-4 > -b > -7$$ или $$-7 < -b < -4$$
Теперь сложим два неравенства:
$$5 + (-7) < a + (-b) < 6 + (-4)$$
$$-2 < a - b < 2$$
**Ответ: $-2 < a - b < 2$**
66. Дано: $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$
1) Чтобы оценить $\sqrt{5} + \sqrt{3}$, сложим два неравенства:
$$2,2 + 1,7 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,3 + 1,8$$
$$3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$$
**Ответ: $3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$**
2) Чтобы оценить $\sqrt{5} - \sqrt{3}$, изменим знаки второго неравенства:
$$-1,7 > -\sqrt{3} > -1,8$$ или $$-1,8 < -\sqrt{3} < -1,7$$
Теперь сложим два неравенства:
$$2,2 + (-1,8) < \sqrt{5} + (-\sqrt{3}) < 2,3 + (-1,7)$$
$$0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$$
**Ответ: $0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$**
3) Чтобы оценить $\sqrt{15}$, перемножим два неравенства:
$$2,2 \cdot 1,7 < \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} < 2,3 \cdot 1,8$$
$$3,74 < \sqrt{15} < 4,14$$
**Ответ: $3,74 < \sqrt{15} < 4,14$**
67. Дано: $2 < x < 4$. Чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{x}$, возьмем обратные значения всех частей неравенства, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные:
$$\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{4}$$
или
$$\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$$
**Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$**
68. Дано: $2,5 < a < 2,6$ и $3,1 < b < 3,2$. Среднее арифметическое это $\frac{a+b}{2}$. Сначала оценим $a+b$:
$$2,5 + 3,1 < a + b < 2,6 + 3,2$$
$$5,6 < a + b < 5,8$$
Теперь разделим все части неравенства на 2:
$$\frac{5,6}{2} < \frac{a+b}{2} < \frac{5,8}{2}$$
$$2,8 < \frac{a+b}{2} < 2,9$$
**Ответ: $2,8 < \frac{a+b}{2} < 2,9$**
69. Периметр равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковой стороной $b$ равен $P = a + 2b$. Известно, что $10 < a < 14$ и $12 < b < 18$. Оценим периметр:
$$10 < a < 14$$
$$12 < b < 18 | \cdot 2$$
$$24 < 2b < 36$$
Сложим два неравенства:
$$10 + 24 < a + 2b < 14 + 36$$
$$34 < a + 2b < 50$$
**Ответ: $34 < P < 50$**
70. Периметр параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ равен $P = 2(a + b)$. Известно, что $15 \le a \le 19$ и $6 \le b \le 11$. Оценим периметр:
$$15 \le a \le 19$$
$$6 \le b \le 11$$
Сложим два неравенства:
$$15 + 6 \le a + b \le 19 + 11$$
$$21 \le a + b \le 30$$
Умножим все части неравенства на 2:
$$21 \cdot 2 \le 2(a + b) \le 30 \cdot 2$$
$$42 \le 2(a + b) \le 60$$
**Ответ: $42 \le P \le 60$**
71. Рассмотрим каждое утверждение:
1) Если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$. Это верно, так как если сложить два неравенства, то получится $a + b > 2 + 7$, то есть $a + b > 9$.
**Ответ: верно**
2) Если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$. Это не всегда верно, например, если $a = 2,1$ и $b = 7,1$, то $a + b = 9,2$, что больше 8. Но если $a = 2,01$ и $b = 7,01$, то $a + b = 9,02$, что тоже больше 8. Однако, из условия $a > 2$ и $b > 7$ следует, что $a + b$ всегда будет больше, чем $2 + 7 = 9$, а значит, больше 8.
**Ответ: верно**
3) Если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$. Это неверно. Например, если $a = 2,05$ и $b = 7,1$, то $a + b = 9,15$, что меньше 9,2.
**Ответ: неверно**
4) Если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$. Это неверно. Например, если $a = 2,1$ и $b = 7,1$, то $a - b = -5$, что не больше -5.
**Ответ: неверно**
