Можешь найти значение производной функции в точке x₀: a) y = sin³ x; б) y = √ctg x; в) y = √1 - x² + cos³ x; г) y = √tg x / (x²+1); д) y = (3x - 2)⁷, x₀ = 3; е) у = √25 - 9x, x₀ = 1; ё) y = sin(2x - π/3), x₀ = π/6; ж) у = ctg(π/3 - x), x₀ = π/6?

Оки, сейчас помогу разобраться с этими задачками про производные! **42.7 a)** $y = \sin^3 x$ Чтобы найти производную, используем правило цепочки. Сначала находим производную внешней функции (степени), а затем умножаем на производную внутренней функции (синуса): $y' = 3 \sin^2 x \cdot (\sin x)' = 3 \sin^2 x \cdot \cos x$ **Ответ: $y' = 3\sin^2 x \cos x$** **42.7 б)** $y = \sqrt{\ctg x}$ Здесь тоже правило цепочки. Сначала производная квадратного корня, потом производная котангенса: $y' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (\ctg x)' = \frac{1}{2\sqrt{\ctg x}} \cdot (-\csc^2 x) = -\frac{\csc^2 x}{2\sqrt{\ctg x}}$ *Примечание: $\csc x = \frac{1}{\sin x}$* **Ответ: $y' = -\frac{\csc^2 x}{2\sqrt{\ctg x}}$** **42.8 a)** $y = \sqrt{1 - x^2} + \cos^3 x$ Тут у нас сумма двух функций, поэтому берём производную каждой по отдельности: $y' = (\sqrt{1 - x^2})' + (\cos^3 x)'$ Для первой: $(\sqrt{1 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ Для второй: $(\cos^3 x)' = 3 \cos^2 x \cdot (-\sin x) = -3 \cos^2 x \sin x$ $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 3 \cos^2 x \sin x$ **Ответ: $y' = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - 3 \cos^2 x \sin x$** **42.8 б)** $y = \frac{\sqrt{\operatorname{tg} x}}{x^2 + 1}$ Используем правило частного: $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{\operatorname{tg} x}$, $v = x^2 + 1$ $u' = \frac{1}{2\sqrt{\operatorname{tg} x}} \cdot (\operatorname{tg} x)' = \frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\operatorname{tg} x}}$ $v' = 2x$ $y' = \frac{\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\operatorname{tg} x}} \cdot (x^2 + 1) - \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$ **Ответ: $y' = \frac{\frac{\sec^2 x}{2\sqrt{\operatorname{tg} x}} \cdot (x^2 + 1) - \sqrt{\operatorname{tg} x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$** **42.9 a)** $y = (3x - 2)^7, x_0 = 3$ Сначала найдём производную функции: $y' = 7(3x - 2)^6 \cdot 3 = 21(3x - 2)^6$ Теперь подставим $x_0 = 3$: $y'(3) = 21(3 \cdot 3 - 2)^6 = 21(9 - 2)^6 = 21 \cdot 7^6 = 21 \cdot 117649 = 2470629$ **Ответ: 2470629** **42.9 б)** $y = \sqrt{25 - 9x}, x_0 = 1$ $y' = \frac{1}{2\sqrt{25 - 9x}} \cdot (-9) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9x}}$ Подставляем $x_0 = 1$: $y'(1) = -\frac{9}{2\sqrt{25 - 9 \cdot 1}} = -\frac{9}{2\sqrt{16}} = -\frac{9}{2 \cdot 4} = -\frac{9}{8}$ **Ответ: -9/8** **42.10 a)** $y = \sin(2x - \frac{\pi}{3}), x_0 = \frac{\pi}{6}$ $y' = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) \cdot 2 = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3})$ Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $y'(\frac{\pi}{6}) = 2\cos(2 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$ **Ответ: 2** **42.10 б)** $y = \operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3} - x), x_0 = \frac{\pi}{6}$ $y' = -\csc^2(\frac{\pi}{3} - x) \cdot (-1) = \csc^2(\frac{\pi}{3} - x)$ Подставляем $x_0 = \frac{\pi}{6}$: $y'(\frac{\pi}{6}) = \csc^2(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \csc^2(\frac{\pi}{6}) = (\frac{1}{\sin(\frac{\pi}{6})})^2 = (\frac{1}{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 = 4$ **Ответ: 4**