Ты просишь меня решить уравнения 211 а), б), в), г); 212 а), б), в), г); 215; 216; 217 а), б), в), г), д), е), ж), з); 218 а), б); 219 а), б); 220 и 221 а), б), в), г).

211. a) Давай решим это уравнение вместе! Сначала раскроем скобки и упростим выражение: $$(8x - 1)(2x - 3) - (4x - 1)^2 = 38$$ $$16x^2 - 24x - 2x + 3 - (16x^2 - 8x + 1) = 38$$ $$16x^2 - 26x + 3 - 16x^2 + 8x - 1 = 38$$ $$-18x + 2 = 38$$ Теперь перенесем все числа в одну сторону, чтобы найти $x$: $$-18x = 36$$ $$x = -2$$ б) Здесь нужно решить уравнение с дробями. Выглядит страшновато, но сейчас разберемся! $$\frac{(15x - 1)(1 + 15x)}{3} = 2\frac{2}{3}$$ $$\frac{225x^2 - 1}{3} = \frac{8}{3}$$ $$225x^2 - 1 = 8$$ $$225x^2 = 9$$ $$x^2 = \frac{9}{225} = \frac{1}{25}$$ $$x = \pm \frac{1}{5}$$ в) И снова уравнение, на этот раз с $y$. Не волнуйся, сейчас решим! $$0,5y^3 - 0,5y(y + 1)(y - 3) = 7$$ $$0,5y^3 - 0,5y(y^2 - 3y + y - 3) = 7$$ $$0,5y^3 - 0,5y(y^2 - 2y - 3) = 7$$ $$0,5y^3 - 0,5y^3 + y^2 + 1,5y = 7$$ $$y^2 + 1,5y - 7 = 0$$ Теперь используем квадратное уравнение для решения: $$y = \frac{-1,5 \pm \sqrt{(1,5)^2 - 4(1)(-7)}}{2}$$ $$y = \frac{-1,5 \pm \sqrt{2,25 + 28}}{2}$$ $$y = \frac{-1,5 \pm \sqrt{30,25}}{2}$$ $$y = \frac{-1,5 \pm 5,5}{2}$$ Так что у нас два варианта: $$y_1 = \frac{-1,5 + 5,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-1,5 - 5,5}{2} = \frac{-7}{2} = -3,5$$ г) Решаем уравнение: $$x^4 \cdot x^2 = \frac{(1 + 2x^2)(2x^2 - 1)}{4}$$ $$x^6 = \frac{4x^4 - 1}{4}$$ $$4x^6 = 4x^4 - 1$$ $$4x^6 - 4x^4 + 1 = 0$$ $$(2x^3 - 1)^2 = 0$$ $$2x^3 = 1$$ $$x^3 = \frac{1}{2}$$ $$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$$ 212. a) Решаем уравнение: $$(6 - x)(x + 6) - (x - 11)x = 36$$ $$36 - x^2 - (x^2 - 11x) = 36$$ $$36 - x^2 - x^2 + 11x = 36$$ $$-2x^2 + 11x = 0$$ $$x(-2x + 11) = 0$$ Так что либо $x = 0$, либо $-2x + 11 = 0$, тогда $x = \frac{11}{2}$. б) Решаем уравнение: $$9x^2 - \frac{(12x - 11)(3x + 8)}{4} = 1$$ $$36x^2 - (36x^2 + 96x - 33x - 88) = 4$$ $$36x^2 - 36x^2 - 63x + 88 = 4$$ $$-63x = -84$$ $$x = \frac{-84}{-63} = \frac{4}{3}$$ в) Решаем уравнение: $$\frac{1 - 3y}{11} - \frac{3 - y}{5} = 0$$ $$5(1 - 3y) - 11(3 - y) = 0$$ $$5 - 15y - 33 + 11y = 0$$ $$-4y = 28$$ $$y = -7$$ г) Решаем уравнение: $$\frac{(y + 1)^2}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$$ $$\frac{y^2 + 2y + 1}{12} - \frac{1 - y^2}{24} = 4$$ $$2(y^2 + 2y + 1) - (1 - y^2) = 96$$ $$2y^2 + 4y + 2 - 1 + y^2 = 96$$ $$3y^2 + 4y - 95 = 0$$ Теперь используем квадратное уравнение для решения: $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-95)}}{2(3)}$$ $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 1140}}{6}$$ $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{1156}}{6}$$ $$y = \frac{-4 \pm 34}{6}$$ Так что у нас два варианта: $$y_1 = \frac{-4 + 34}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ $$y_2 = \frac{-4 - 34}{6} = \frac{-38}{6} = -\frac{19}{3}$$ 215. Давай решим эту задачу вместе. Пусть $a$ - ребро куба. Тогда его объем равен $a^3$. Если ребро увеличить на 3 см, то новый объем будет $(a + 3)^3$. Известно, что новый объем больше старого на 513 $см^3$. Получаем уравнение: $$(a + 3)^3 - a^3 = 513$$ Раскроем скобки: $$a^3 + 9a^2 + 27a + 27 - a^3 = 513$$ $$9a^2 + 27a + 27 = 513$$ $$9a^2 + 27a - 486 = 0$$ Разделим все на 9: $$a^2 + 3a - 54 = 0$$ Теперь можно решить это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4(1)(-54) = 9 + 216 = 225$$ Теперь найдем корни: $$a_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$a_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$ Так как длина ребра не может быть отрицательной, то $a = 6$ см. 216. Пусть первое число $x$, а второе $y$. Из условия задачи известно, что первое число на 5 больше второго, то есть: $$x = y + 5$$ Также известно, что куб первого числа на 3185 больше куба второго числа, то есть: $$x^3 = y^3 + 3185$$ Теперь подставим первое уравнение во второе: $$(y + 5)^3 = y^3 + 3185$$ $$y^3 + 15y^2 + 75y + 125 = y^3 + 3185$$ $$15y^2 + 75y + 125 = 3185$$ $$15y^2 + 75y - 3060 = 0$$ Разделим все на 15: $$y^2 + 5y - 204 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = 5^2 - 4(1)(-204) = 25 + 816 = 841$$ Теперь найдем корни: $$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{841}}{2} = \frac{-5 + 29}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{841}}{2} = \frac{-5 - 29}{2} = \frac{-34}{2} = -17$$ Теперь найдем соответствующие значения $x$: Если $y = 12$, то $x = 12 + 5 = 17$. Если $y = -17$, то $x = -17 + 5 = -12$. 217. a) Решаем уравнение: $$y^3 - 6y = 0$$ $$y(y^2 - 6) = 0$$ Так что либо $y = 0$, либо $y^2 - 6 = 0$, тогда $y = \pm \sqrt{6}$. б) Решаем уравнение: $$6x^4 + 3,6x^2 = 0$$ $$x^2(6x^2 + 3,6) = 0$$ Так что либо $x^2 = 0$, тогда $x = 0$, либо $6x^2 + 3,6 = 0$, тогда $x^2 = -\frac{3,6}{6} = -0,6$. Но так как квадрат не может быть отрицательным, то этот случай не подходит. в) Решаем уравнение: $$x^3 + 3x = 3,5x^2$$ $$x^3 - 3,5x^2 + 3x = 0$$ $$x(x^2 - 3,5x + 3) = 0$$ Так что либо $x = 0$, либо $x^2 - 3,5x + 3 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $$D = (-3,5)^2 - 4(1)(3) = 12,25 - 12 = 0,25$$ $$x = \frac{3,5 \pm \sqrt{0,25}}{2} = \frac{3,5 \pm 0,5}{2}$$ Так что два варианта: $$x_1 = \frac{3,5 + 0,5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{3,5 - 0,5}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$$ г) Решаем уравнение: $$x^3 - 0,1x = 0,3x^2$$ $$x^3 - 0,3x^2 - 0,1x = 0$$ $$x(x^2 - 0,3x - 0,1) = 0$$ Так что либо $x = 0$, либо $x^2 - 0,3x - 0,1 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $$D = (-0,3)^2 - 4(1)(-0,1) = 0,09 + 0,4 = 0,49$$ $$x = \frac{0,3 \pm \sqrt{0,49}}{2} = \frac{0,3 \pm 0,7}{2}$$ Так что два варианта: $$x_1 = \frac{0,3 + 0,7}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$$ $$x_2 = \frac{0,3 - 0,7}{2} = \frac{-0,4}{2} = -0,2$$ д) Решаем уравнение: $$9x^3 - 18x^2 - x + 2 = 0$$ Сгруппируем члены: $$9x^2(x - 2) - (x - 2) = 0$$ $$(9x^2 - 1)(x - 2) = 0$$ Так что либо $x - 2 = 0$, тогда $x = 2$, либо $9x^2 - 1 = 0$, тогда $x^2 = \frac{1}{9}$, и $x = \pm \frac{1}{3}$. е) Решаем уравнение: $$y^4 - y^3 - 16y^2 + 16y = 0$$ $$y(y^3 - y^2 - 16y + 16) = 0$$ Так что либо $y = 0$, либо $y^3 - y^2 - 16y + 16 = 0$. Сгруппируем члены: $$y^2(y - 1) - 16(y - 1) = 0$$ $$(y^2 - 16)(y - 1) = 0$$ Так что либо $y - 1 = 0$, тогда $y = 1$, либо $y^2 - 16 = 0$, тогда $y^2 = 16$, и $y = \pm 4$. ж) Решаем уравнение: $$p^3 - p^2 = p - 1$$ $$p^3 - p^2 - p + 1 = 0$$ $$p^2(p - 1) - (p - 1) = 0$$ $$(p^2 - 1)(p - 1) = 0$$ Так что либо $p - 1 = 0$, тогда $p = 1$, либо $p^2 - 1 = 0$, тогда $p^2 = 1$, и $p = \pm 1$. з) Решаем уравнение: $$x^4 - x^2 = 3x^3 - 3x$$ $$x^4 - 3x^3 - x^2 + 3x = 0$$ $$x(x^3 - 3x^2 - x + 3) = 0$$ Так что либо $x = 0$, либо $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$. Сгруппируем члены: $$x^2(x - 3) - (x - 3) = 0$$ $$(x^2 - 1)(x - 3) = 0$$ Так что либо $x - 3 = 0$, тогда $x = 3$, либо $x^2 - 1 = 0$, тогда $x^2 = 1$, и $x = \pm 1$. 218. a) Решаем уравнение: $$3x^3 - x^2 + 18x - 6 = 0$$ б) Решаем уравнение: $$2x^4 - 18x^2 = 5x^3 - 45x$$ 219. a) Решаем уравнение: $$x^3 + 7x^2 - 6 = 0$$ б) Решаем уравнение: $$x^3 + 4x^2 - 5 = 0$$ 220. Находим координаты точек пересечения графика функции $y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ с осями координат. 221. Решаем уравнение, используя введение новой переменной: a) $$(2x^2 + 3)^2 - 12(2x^2 + 3) + 11 = 0$$ б) $$(t^2 - 2t)^2 - 3 = 2(t^2 - 2t)$$ в) $$(x^2 + x - 1)(x^2 + x + 2) = 40$$ г) $$(2x^2 + x - 1)(2x^2 + x - 4) + 2 = 0$$