Реши уравнение a) (4y+7)/(2y-3) - (y-3)/(2y+3) = 1

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! Я помогу тебе разобраться с каждым из них по шагам. Главное — не волнуйся, всё получится! а) $\frac{4y+7}{2y-3} - \frac{y-3}{2y+3} = 1$ Чтобы решить это уравнение, нужно сначала избавиться от дробей. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю, который будет равен $(2y-3)(2y+3)$. Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель: $(4y+7)(2y+3) - (y-3)(2y-3) = (2y-3)(2y+3)$ Раскрываем скобки: $(8y^2 + 12y + 14y + 21) - (2y^2 - 3y - 6y + 9) = 4y^2 - 9$ Упрощаем выражение: $8y^2 + 26y + 21 - 2y^2 + 9y - 9 = 4y^2 - 9$ Приводим подобные члены: $6y^2 + 35y + 12 = 4y^2 - 9$ Переносим все в левую часть: $2y^2 + 35y + 21 = 0$ Решаем квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4 \cdot 2 \cdot 21 = 1225 - 168 = 1057$ Теперь найдем корни уравнения: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + \sqrt{1057}}{4}$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - \sqrt{1057}}{4}$ **Ответ:** $y_1 = \frac{-35 + \sqrt{1057}}{4}$, $y_2 = \frac{-35 - \sqrt{1057}}{4}$ б) $\frac{2y-8}{y-5} + \frac{10}{y^2-25} = \frac{y+4}{y+5}$ Заметим, что $y^2 - 25 = (y-5)(y+5)$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(y-5)(y+5)$. Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель: $(2y-8)(y+5) + 10 = (y+4)(y-5)$ Раскрываем скобки: $2y^2 + 10y - 8y - 40 + 10 = y^2 - 5y + 4y - 20$ Упрощаем выражение: $2y^2 + 2y - 30 = y^2 - y - 20$ Переносим все в левую часть: $y^2 + 3y - 10 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $(y+5)(y-2) = 0$ $y_1 = -5, y_2 = 2$ Но нужно проверить, не обращается ли знаменатель в ноль. Если $y = -5$, то знаменатель $y+5$ обращается в ноль, значит, это посторонний корень. Если $y = 5$, то знаменатель $y-5$ обращается в ноль, значит, это тоже посторонний корень. **Ответ:** $y = 2$ в) $\frac{5}{y+3} - \frac{3}{y} = \frac{2-y}{y^2+3y}$ Заметим, что $y^2 + 3y = y(y+3)$. Приведем все дроби к общему знаменателю $y(y+3)$. Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель: $5y - 3(y+3) = 2-y$ Раскрываем скобки: $5y - 3y - 9 = 2 - y$ Упрощаем выражение: $2y - 9 = 2 - y$ Переносим все с $y$ в левую часть, а числа в правую: $3y = 11$ $y = \frac{11}{3}$ **Ответ:** $y = \frac{11}{3}$ г) $\frac{5}{x-2} + 1 = \frac{14}{x^2-4x+4}$ Заметим, что $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-2)^2$. Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель: $5(x-2) + (x-2)^2 = 14$ Раскрываем скобки: $5x - 10 + x^2 - 4x + 4 = 14$ Упрощаем выражение: $x^2 + x - 6 = 14$ Переносим все в левую часть: $x^2 + x - 20 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $(x+5)(x-4) = 0$ $x_1 = -5, x_2 = 4$ Нужно проверить, не обращается ли знаменатель в ноль. Если $x = 2$, то знаменатель $x-2$ обращается в ноль, значит, это посторонний корень. В нашем случае корни -5 и 4 не обращают знаменатель в ноль. **Ответ:** $x_1 = -5$, $x_2 = 4$ д) $\frac{1}{(x-3)^2} + \frac{9}{(x+3)^2} - \frac{6}{x^2-9} = 0$ Заметим, что $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$. Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-3)^2(x+3)^2$. Умножаем обе части уравнения на этот знаменатель: $(x+3)^2 + 9(x-3)^2 - 6(x-3)(x+3) = 0$ Раскрываем скобки: $x^2 + 6x + 9 + 9(x^2 - 6x + 9) - 6(x^2 - 9) = 0$ Упрощаем выражение: $x^2 + 6x + 9 + 9x^2 - 54x + 81 - 6x^2 + 54 = 0$ Приводим подобные члены: $4x^2 - 48x + 144 = 0$ Делим все на 4: $x^2 - 12x + 36 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $(x-6)^2 = 0$ $x = 6$ **Ответ:** $x = 6$ е) $\frac{3}{1-4y^2} + \frac{4}{2y^2+y} = \frac{3}{4y^2+4y+1}$ Выражения в знаменателях можно упростить: $1 - 4y^2 = (1 - 2y)(1 + 2y)$ $2y^2 + y = y(2y + 1)$ $4y^2 + 4y + 1 = (2y + 1)^2$ Приведем все дроби к общему знаменателю $y(1-2y)(1+2y)^2$. Домножим каждую дробь на соответствующие множители, чтобы получить общий знаменатель: $\frac{3y(2y+1)}{y(1-2y)(1+2y)^2} + \frac{4(1-2y)(1+2y)}{y(1-2y)(1+2y)^2} = \frac{3y(1-2y)}{y(1-2y)(1+2y)^2}$ Убираем знаменатель, так как он общий: $3y(2y+1) + 4(1-2y)(1+2y) = 3y(1-2y)$ Раскрываем скобки: $6y^2 + 3y + 4(1 - 4y^2) = 3y - 6y^2$ $6y^2 + 3y + 4 - 16y^2 = 3y - 6y^2$ Приводим подобные члены: $-10y^2 + 4 = 3y - 6y^2$ Переносим все в левую часть: $-4y^2 - 3y + 4 = 0$ Умножаем на -1 для удобства: $4y^2 + 3y - 4 = 0$ Теперь найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 9 + 64 = 73$ Теперь найдем корни уравнения: $y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}$ $y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}$ **Ответ:** $y_1 = \frac{-3 + \sqrt{73}}{8}$, $y_2 = \frac{-3 - \sqrt{73}}{8}$