Вычисли $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$, если $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$

Конечно, сейчас помогу! Начнём с первого примера. Нам нужно вычислить $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$, зная, что $\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это значит, что угол $\alpha$ находится в третьей четверти. Сначала найдём $\sin \alpha$. Так как $\alpha$ в третьей четверти, $\sin \alpha$ будет отрицательным. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ Значит, $\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}$. Но так как $\alpha$ в третьей четверти, то $\sin \alpha = -\frac{4}{5}$. Теперь используем формулу синуса суммы углов: $$\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6}$$ Подставляем известные значения: $$\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \frac{1}{2} = -\frac{4\sqrt{3}}{10} - \frac{3}{10} = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$$ Переходим ко второму примеру. Теперь нужно вычислить $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)$, зная, что $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. Это значит, что угол $\alpha$ находится во второй четверти. Сначала найдём $\cos \alpha$. Так как $\alpha$ во второй четверти, $\cos \alpha$ будет отрицательным. Используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$$ Значит, $\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{7}}{3}$. Но так как $\alpha$ во второй четверти, то $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}$. Теперь используем формулу синуса разности углов: $$\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha$$ Подставляем известные значения: $$\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = -\frac{\sqrt{14}}{6} - \frac{2}{6} = -\frac{\sqrt{14} + 2}{6}$$ **Ответ:** 1) $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = -\frac{4\sqrt{3} + 3}{10}$ 2) $\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha) = -\frac{\sqrt{14} + 2}{6}$