Ты просишь доказать неравенства из заданий 9, 10, 11 и 12 под цифрой 1.

Конечно, давай докажем эти неравенства! Сейчас разберёмся с каждым по порядку. Я постараюсь объяснить всё так, чтобы тебе было понятно. 9. 1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$; Раскроем скобки: $p^2 + 4p - 3p - 12 < p^2 + p$; Упростим: $p^2 + p - 12 < p^2 + p$; Сократим одинаковые члены: $-12 < 0$. Это всегда верно. 2) $(x + 1)^2 > x(x + 2)$; Раскроем скобки: $x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$; Сократим одинаковые члены: $1 > 0$. Это тоже всегда верно. 3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$; Раскроем скобки: $a^2 + 2a - 5a - 10 > a^2 - 8a + 5a - 40$; Упростим: $a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$; Сократим одинаковые члены: $-10 > -40$. Это тоже всегда верно. 4) $y(y + 8) < (y + 4)^2$; Раскроем скобки: $y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$; Сократим одинаковые члены: $0 < 16$. Это всегда верно. 5) $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$; Раскроем скобки: $4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$; Сократим одинаковые члены: $4a^2 \le 6a^2$; Перенесём всё вправо: $0 \le 2a^2$. Это всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен. 6) $a^2 + 4 \ge 4a$; Перенесём всё влево: $a^2 - 4a + 4 \ge 0$; Заметим, что это полный квадрат: $(a - 2)^2 \ge 0$. Это всегда верно, так как квадрат любого числа неотрицателен. 10. 1) Если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$; Это верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $\frac{a}{b} < 1$. 2) Если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$; Это верно, так как если $a > 1$, то деление 2 на число больше 1 даст число меньше 2. 3) Если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$; Это верно, так как если $a < 1$, то деление 2 на число меньше 1 даст число больше 2. 4) Если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$; Это верно, если $b > 0$. Если $b < 0$, то $a < b$. 5) Если $a^2 > 1$, то $a > 1$? Не всегда. Например, если $a = -2$, то $a^2 = 4 > 1$, но $a < 1$. 11. 1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$; Разделим на 2: $a^2 - 4a + 8 > 0$; Выделим полный квадрат: $(a - 2)^2 + 4 > 0$. Это всегда верно, так как квадрат плюс положительное число всегда больше нуля. 2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$; Выделим полный квадрат: $(2b + 1)^2 + 2 > 0$. Это всегда верно. 3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$; Умножим на 2: $2a^2 + 2ab + 2b^2 \ge 0$; Преобразуем: $(a + b)^2 + a^2 + b^2 \ge 0$. Это всегда верно. 4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$; Раскроем скобки: $6a^2 - 12a + 4a - 8 - (4a^2 - 20a + 25) > 12a - 36$; Упростим: $6a^2 - 8a - 8 - 4a^2 + 20a - 25 > 12a - 36$; $2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$; $2a^2 + 3 > 0$. Это всегда верно. 5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$; Раскроем скобки: $a^2 - 3a > 5a - 20$; $a^2 - 8a + 20 > 0$; Выделим полный квадрат: $(a - 4)^2 + 4 > 0$. Это всегда верно. 6) $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$; Раскроем скобки: $a^2 + 5ab - ab - 5b^2 \le 2a^2 + 8ab + ab + 4b^2 + ab$; $a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$; $0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$; $0 \le (a + 3b)^2$. Это всегда верно. 12. 1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4$; Перенесём всё вправо: $0 \le 7a^2 - 28a + 28$; Разделим на 7: $0 \le a^2 - 4a + 4$; $0 \le (a - 2)^2$. Это всегда верно.