Ты просишь упростить выражение $\frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}})}$

Конечно, я помогу тебе с этим заданием. **Задание 1. Упростить выражение:** $\frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}})}$ *Решение:* 1. Раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: Числитель: $a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{6}{3}} = a^1 + a^2 = a + a^2$ Знаменатель: $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} + a^0 = a^1 + 1 = a + 1$ 2. Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{a + a^2}{a + 1}$ 3. Вынесем $a$ за скобки в числителе: $\frac{a(1 + a)}{a + 1}$ 4. Заметим, что $(1 + a)$ можно сократить с $(a + 1)$: $\frac{a(1 + a)}{a + 1} = a$ **Ответ:** $a$ *Перевод:* **Task 1. Simplify the expression:** $\frac{a^{\frac{4}{3}}(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{4}}(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}})}$ *Solution:* 1. Expand the parentheses in the numerator and denominator using the rule $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: Numerator: $a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{6}{3}} = a^1 + a^2 = a + a^2$ Denominator: $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} = a^{\frac{4}{4}} + a^0 = a^1 + 1 = a + 1$ 2. Now our expression looks like this: $\frac{a + a^2}{a + 1}$ 3. Factor out $a$ from the numerator: $\frac{a(1 + a)}{a + 1}$ 4. Notice that $(1 + a)$ can be canceled with $(a + 1)$: $\frac{a(1 + a)}{a + 1} = a$ **Answer:** $a$