Объяснишь, как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей в номере 15, и как выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей в номере 16?

Задача 15. Чтобы доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, нужно показать, что модуль знаменателя прогрессии меньше 1 ($|q| < 1$). 1) $1, \frac{1}{5}, \frac{1}{25}, ...$ Здесь $q = \frac{1}{5}$, так как $\frac{1}{5} / 1 = \frac{1}{5}$ и $\frac{1}{25} / \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$. Так как $|\frac{1}{5}| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая. 2) $1, \frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27} ...$ Здесь $q = \frac{1}{3}$, так как $\frac{1}{3} / 1 = \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{9} / \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая. 3) $-27, -9, -3, ...$ Здесь $q = \frac{-9}{-27} = \frac{1}{3}$. Так как $|\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая. 4) $-64, -32, -16, ...$ Здесь $q = \frac{-32}{-64} = \frac{1}{2}$. Так как $|\frac{1}{2}| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая. В задаче 16 нужно выяснить, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей. Для этого также нужно проверить, что $|q| < 1$. 1) $b_1 = 40, b_2 = -20$. Тогда $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$. Так как $|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1$, прогрессия бесконечно убывающая. 2) $b_7 = 12, b_{11} = \frac{3}{4}$. Здесь $b_{11} = b_7 * q^4$, то есть $\frac{3}{4} = 12 * q^4$. Отсюда $q^4 = \frac{3}{4} / 12 = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$. Значит, $q = \pm \frac{1}{2}$. В обоих случаях $|q| < 1$, поэтому прогрессия бесконечно убывающая. 3) $b_7 = -30, b_6 = 15$. Здесь $q = \frac{b_6}{b_7} = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$. Так как $|-\frac{1}{2}| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая. 4) $b_5 = 9, b_{10} = -\frac{1}{27}$. Здесь $b_{10} = b_5 * q^5$, то есть $-\frac{1}{27} = 9 * q^5$. Отсюда $q^5 = -\frac{1}{27} / 9 = -\frac{1}{243}$. Значит, $q = -\frac{1}{3}$. Так как $|-\frac{1}{3}| < 1$, прогрессия бесконечно убывающая.