Реши задания 56-66 из учебника математики

56. Недостаточно данных для точного решения. Нужно указать, какое из уравнений №53 рассматривать. 57. а) Подставим $y = 4$ в уравнение $x(x - 1) - 2xy = 42$: $$x(x - 1) - 2x \cdot 4 = 42$$ $$x^2 - x - 8x = 42$$ $$x^2 - 9x - 42 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 81 + 168 = 249$$ $$x_1 = \frac{9 + \sqrt{249}}{2}$$, $$x_2 = \frac{9 - \sqrt{249}}{2}$$ Так как $\sqrt{249}$ не является целым числом, то $x_1$ и $x_2$ не являются целыми числами. б) Подставим $y = 5$ в уравнение $x(x - 1) - 2xy = 42$: $$x(x - 1) - 2x \cdot 5 = 42$$ $$x^2 - x - 10x = 42$$ $$x^2 - 11x - 42 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 121 + 168 = 289 = 17^2$$ $$x_1 = \frac{11 + 17}{2} = \frac{28}{2} = 14$$, $$x_2 = \frac{11 - 17}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ $x_1 = 14$ - целое число. Значит, пара чисел $(14; 5)$ является решением уравнения $x(x - 1) - 2xy = 42$. 58. Пусть $a$ и $b$ - катеты прямоугольного треугольника, а $c$ - гипотенуза. По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ По условию, один из катетов равен $\sqrt{2}$ дм. Пусть $a = \sqrt{2}$. Тогда уравнение примет вид: $$(\sqrt{2})^2 + b^2 = c^2$$ $$2 + b^2 = c^2$$ а) Если гипотенуза $c = 1,5$ дм, а второй катет $b = 0,5$ дм, то: $$2 + (0,5)^2 = (1,5)^2$$ $$2 + 0,25 = 2,25$$ $$2,25 = 2,25$$ Равенство выполняется, следовательно, такие значения гипотенузы и второго катета возможны. б) Если гипотенуза $c = 3$ дм, а второй катет $b = \sqrt{7}$ дм, то: $$2 + (\sqrt{7})^2 = 3^2$$ $$2 + 7 = 9$$ $$9 = 9$$ Равенство выполняется, следовательно, такие значения гипотенузы и второго катета возможны. 59. Пусть искомое двузначное число равно $10a + b$, где $a$ - цифра десятков, $b$ - цифра единиц. Тогда сумма цифр равна $a + b$. По условию, число в 3 раза больше суммы его цифр: $$10a + b = 3(a + b)$$ $$10a + b = 3a + 3b$$ $$7a = 2b$$ Так как $a$ и $b$ - цифры, то они могут принимать значения от 0 до 9. Подберем подходящие значения: Если $a = 1$, то $b = \frac{7}{2}$ - не целое число. Если $a = 2$, то $b = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7$. Тогда число равно $27$. Проверим: $27 = 3(2 + 7) = 3 \cdot 9 = 27$. Все верно! Если $a = 3$, то $b = \frac{7 \cdot 3}{2} = \frac{21}{2}$ - не целое число. Если $a = 4$, то $b = \frac{7 \cdot 4}{2} = 14$ - не подходит, так как $b$ должна быть цифрой. Других решений нет. 60. Пусть длина прямоугольника равна $x$ метров, а ширина - $y$ метров. Тогда площадь прямоугольника равна $xy = 16$ м$^2$. Периметр прямоугольника равен $P = 2(x + y)$. Нужно найти наименьший периметр. Так как $x$ и $y$ - целые числа, то возможны следующие варианты: $x = 1, y = 16$, тогда $P = 2(1 + 16) = 2 \cdot 17 = 34$ м. $x = 2, y = 8$, тогда $P = 2(2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$ м. $x = 4, y = 4$, тогда $P = 2(4 + 4) = 2 \cdot 8 = 16$ м. Наименьший периметр равен 16 м. 61. а) $x^2 + y = 5$ это парабола, ветви которой направлены вниз. Чтобы построить график, можно выразить $y$ через $x$: $y = 5 - x^2$. Подставляя различные значения $x$, можно найти соответствующие значения $y$ и построить график по точкам. б) $xy = 15$ это гипербола. Чтобы построить график, можно выразить $y$ через $x$: $y = \frac{15}{x}$. Подставляя различные значения $x$, можно найти соответствующие значения $y$ и построить график по точкам. в) $2y + 3x = 1$ это прямая линия. Чтобы построить график, можно выразить $y$ через $x$: $y = \frac{1 - 3x}{2}$. Подставляя два различных значения $x$, можно найти соответствующие значения $y$ и провести прямую через эти две точки. г) $x^2 + y^2 = 25$ это окружность с центром в начале координат и радиусом 5. График можно построить с помощью циркуля. 62. а) $x^2 + y^2 - (xy)^2 = 1$. Если $x = 1$ и $y = 1$, то $1^2 + 1^2 - (1 \cdot 1)^2 = 1 + 1 - 1 = 1$. Пара $(1; 1)$ - решение уравнения. б) $(x - y\sqrt{2})(x + y\sqrt{2}) = 1$. Раскроем скобки: $x^2 - 2y^2 = 1$. Если $x = 3$ и $y = 2$, то $3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 8 = 1$. Пара $(3; 2)$ - решение уравнения. в) $m^n = n^m$. Если $m = 2$ и $n = 4$, то $2^4 = 4^2 = 16$. Пара $(2; 4)$ - решение уравнения. 63. а) $4x^2 - 81y^2 = 0$. Это уравнение можно переписать как $(2x - 9y)(2x + 9y) = 0$. Следовательно, $2x = 9y$ или $2x = -9y$. Если $x = 9$ и $y = 2$, то $4 \cdot 9^2 - 81 \cdot 2^2 = 4 \cdot 81 - 81 \cdot 4 = 0$. Пара $(9; 2)$ - решение уравнения. б) $x^2 + 2xy + y^2 = 0$. Это уравнение можно переписать как $(x + y)^2 = 0$. Следовательно, $x + y = 0$, или $x = -y$. Если $x = 1$ и $y = -1$, то $1^2 + 2 \cdot 1 \cdot (-1) + (-1)^2 = 1 - 2 + 1 = 0$. Пара $(1; -1)$ - решение уравнения. в) $xy + 20 = 5x + 4y$. Перепишем уравнение: $xy - 5x - 4y + 20 = 0$, или $x(y - 5) - 4(y - 5) = 0$, или $(x - 4)(y - 5) = 0$. Следовательно, $x = 4$ или $y = 5$. Если $x = 4$, то $4y + 20 = 5 \cdot 4 + 4y$, или $4y + 20 = 20 + 4y$, что верно для любого $y$. Если $y = 5$, то $5x + 20 = 5x + 4 \cdot 5$, или $5x + 20 = 5x + 20$, что верно для любого $x$. Пара $(4; 5)$ - решение уравнения. г) $x\sqrt{y} - 3 = x - 3\sqrt{y}$. Перепишем уравнение: $x\sqrt{y} - x = 3 - 3\sqrt{y}$, или $x(\sqrt{y} - 1) = -3(\sqrt{y} - 1)$. Следовательно, $x = -3$ или $\sqrt{y} = 1$, то есть $y = 1$. Если $y = 1$, то $x - 3 = x - 3$, что верно для любого $x$. Пара $(-3; 1)$ - решение уравнения. 64. Пусть искомое двузначное число равно $10a + b$, где $a$ - цифра десятков, $b$ - цифра единиц. Тогда сумма цифр равна $a + b$. По условию, при делении числа на сумму цифр в частном получается 3, а в остатке 7. Следовательно: $$10a + b = 3(a + b) + 7$$ $$10a + b = 3a + 3b + 7$$ $$7a - 2b = 7$$ Выразим $a$ через $b$: $$7a = 2b + 7$$ $$a = \frac{2b + 7}{7}$$ Так как $a$ и $b$ - цифры, то они могут принимать значения от 0 до 9. Подберем подходящие значения: Если $b = 0$, то $a = \frac{7}{7} = 1$. Тогда число равно $10 \cdot 1 + 0 = 10$. Проверим: $10 = 3(1 + 0) + 7 = 3 + 7 = 10$. Все верно! Если $b = 1$, то $a = \frac{9}{7}$ - не целое число. Если $b = 2$, то $a = \frac{11}{7}$ - не целое число. Если $b = 3$, то $a = \frac{13}{7}$ - не целое число. Если $b = 4$, то $a = \frac{15}{7}$ - не целое число. Если $b = 5$, то $a = \frac{17}{7}$ - не целое число. Если $b = 6$, то $a = \frac{19}{7}$ - не целое число. Если $b = 7$, то $a = \frac{21}{7} = 3$. Тогда число равно $10 \cdot 3 + 7 = 37$. Проверим: $37 = 3(3 + 7) + 7 = 3 \cdot 10 + 7 = 30 + 7 = 37$. Все верно! Если $b = 8$, то $a = \frac{23}{7}$ - не целое число. Если $b = 9$, то $a = \frac{25}{7}$ - не целое число. Таким образом, существуют два таких числа: 10 и 37. 65. а) $3mn - 7 = 3n - 2m$. Перепишем уравнение: $3mn - 3n + 2m - 7 = 0$, или $3n(m - 1) + 2m - 2 - 5 = 0$, или $3n(m - 1) + 2(m - 1) = 5$, или $(3n + 2)(m - 1) = 5$. Так как $m$ и $n$ - натуральные числа, то возможны два случая: $3n + 2 = 5$ и $m - 1 = 1$. Тогда $3n = 3$, или $n = 1$, и $m = 2$. Пара $(2; 1)$ - решение уравнения. $3n + 2 = 1$ и $m - 1 = 5$. Тогда $3n = -1$, или $n = -\frac{1}{3}$ - не натуральное число. б) $2mn - 4 = m + 2n$. Перепишем уравнение: $2mn - 2n - m - 4 = 0$, или $2n(m - 1) - m + 1 - 5 = 0$, или $2n(m - 1) - (m - 1) = 5$, или $(2n - 1)(m - 1) = 5$. Так как $m$ и $n$ - натуральные числа, то возможны два случая: $2n - 1 = 5$ и $m - 1 = 1$. Тогда $2n = 6$, или $n = 3$, и $m = 2$. Пара $(2; 3)$ - решение уравнения. $2n - 1 = 1$ и $m - 1 = 5$. Тогда $2n = 2$, или $n = 1$, и $m = 6$. Пара $(6; 1)$ - решение уравнения. 66. а) Пусть искомое двузначное число равно $10a + b$, где $a$ - цифра десятков, $b$ - цифра единиц. Произведение цифр равно $ab$, а сумма цифр равна $a + b$. По условию, произведение цифр равно их сумме: $$ab = a + b$$ $$ab - a - b = 0$$ $$ab - a - b + 1 = 1$$ $$a(b - 1) - (b - 1) = 1$$ $$(a - 1)(b - 1) = 1$$ Так как $a$ и $b$ - цифры, то возможны два случая: $a - 1 = 1$ и $b - 1 = 1$. Тогда $a = 2$ и $b = 2$. Число равно $22$. Проверим: $2 \cdot 2 = 2 + 2 = 4$. Все верно! $a - 1 = -1$ и $b - 1 = -1$. Тогда $a = 0$ и $b = 0$. Но число не двузначное. б) Пусть искомое двузначное число равно $10a + b$, где $a$ - цифра десятков, $b$ - цифра единиц. Произведение цифр равно $ab$, а сумма цифр равна $a + b$. По условию, произведение цифр в 4 раза больше их суммы: $$ab = 4(a + b)$$ $$ab - 4a - 4b = 0$$ $$ab - 4a - 4b + 16 = 16$$ $$a(b - 4) - 4(b - 4) = 16$$ $$(a - 4)(b - 4) = 16$$ Так как $a$ и $b$ - цифры, то они могут принимать значения от 0 до 9. Подберем подходящие значения: Если $a - 4 = 1$ и $b - 4 = 16$, то $a = 5$ и $b = 20$ - не подходит, так как $b$ должна быть цифрой. Если $a - 4 = 2$ и $b - 4 = 8$, то $a = 6$ и $b = 12$ - не подходит, так как $b$ должна быть цифрой. Если $a - 4 = 4$ и $b - 4 = 4$, то $a = 8$ и $b = 8$. Число равно $88$. Проверим: $8 \cdot 8 = 4(8 + 8) = 4 \cdot 16 = 64$. Все верно! Если $a - 4 = 8$ и $b - 4 = 2$, то $a = 12$ - не подходит, так как $a$ должна быть цифрой. Если $a - 4 = 16$ и $b - 4 = 1$, то $a = 20$ и $b = 5$ - не подходит, так как $a$ должна быть цифрой. Таким образом, существует только одно такое число: 88.