Помоги мне решить задачи по нахождению производной функции.

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями на нахождение производных. Производная показывает, как быстро меняется функция. **1. $f(x) = 5x - 9$** Чтобы найти производную, нужно вспомнить, что производная от $x$ равна 1, а производная от константы (числа) равна 0. $f'(x) = 5 * 1 - 0 = 5$ **2. $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1$** а) Тут нужно знать, что производная от $x^n$ равна $n * x^(n-1)$. $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$ б) Теперь подставим $x = -1$ в производную: $f'(-1) = 3(-1)^2 + 4(-1) - 5 = 3 - 4 - 5 = -6$ **3. $f(x) = e^x \cdot sin(x)$** а) Здесь понадобится правило произведения: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. Производная от $e^x$ равна $e^x$, а производная от $sin(x)$ равна $cos(x)$. $f'(x) = e^x \cdot sin(x) + e^x \cdot cos(x) = e^x(sin(x) + cos(x))$ б) Подставим $x = 0$ в производную: $f'(0) = e^0 (sin(0) + cos(0)) = 1 * (0 + 1) = 1$ **4. $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$** а) Используем правило частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $u = x^2 + 3$, $u' = 2x$ $v = x - 1$, $v' = 1$ $f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3) * 1}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2}$ б) Подставим $x = 0$ в производную: $f'(0) = \frac{0^2 - 2 * 0 - 3}{(0 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3$ **5. $f(x) = \sqrt[6]{x} = x^{\frac{1}{6}}$** а) Тут снова используем правило для $x^n$. $f'(x) = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$ б) Подставим $x = 64$ в производную: $f'(64) = \frac{1}{6\sqrt[6]{64^5}} = \frac{1}{6 * 2^5} = \frac{1}{6 * 32} = \frac{1}{192}$ Надеюсь, теперь тебе стало понятнее!