Вычисли значения тригонометрических функций аргумента α, если cosa = -2/7 и π/2 < α < π

Конечно, давай решим! Это задание на тригонометрию, и здесь нам нужно вычислить значения других тригонометрических функций, зная одну из них и интервал, в котором находится угол $\alpha$. **1) Дано:** $\cos \alpha = -\frac{2}{7}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$. - Угол $\alpha$ находится во второй четверти, где синус положительный, а косинус отрицательный. Нам нужно найти $\sin \alpha$. - Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. - Подставим известное значение $\cos \alpha$: $$\sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{7}\right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \alpha + \frac{4}{49} = 1$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{49}$$ $$\sin^2 \alpha = \frac{45}{49}$$ $$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{45}{49}}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{45}}{7}$$ $$\sin \alpha = \pm \frac{3\sqrt{5}}{7}$$ - Так как $\alpha$ во второй четверти, $\sin \alpha$ положителен: $$\sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7}$$ - Теперь найдем $\tan \alpha$ и $\cot \alpha$: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3\sqrt{5}}{7}}{-\frac{2}{7}} = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$$ $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\frac{3\sqrt{5}}{2}} = -\frac{2}{3\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{15}$$ **2) Дано:** $\tan \alpha = -\sqrt{2}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. - Угол $\alpha$ находится в четвертой четверти, где косинус положительный, а синус отрицательный. - Используем формулу: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. - Также используем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$. - Выразим $\sin \alpha$ через $\cos \alpha$ с помощью тангенса: $\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -\sqrt{2} \cos \alpha$. - Подставим в основное тригонометрическое тождество: $$(-\sqrt{2} \cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1$$ $$2 \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ $$3 \cos^2 \alpha = 1$$ $$\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$$ $$\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$$ $$\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$$ - Поскольку $\alpha$ в четвертой четверти, $\cos \alpha$ положителен: $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ - Теперь найдем $\sin \alpha$: $$\sin \alpha = -\sqrt{2} \cos \alpha = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$$ - И $\cot \alpha$: $$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = \frac{1}{-\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ В итоге: **Ответ:** 1) $\sin \alpha = \frac{3\sqrt{5}}{7}$, $\tan \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{2}$, $\cot \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{15}$ 2) $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, $\cot \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$