Реши задачи 1014, 1015, 1016 и 1019 из учебника

1014 a) Раз $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, значит $\alpha = 60^\circ$. Теперь найдем $\cos \alpha = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$. 1014 б) Раз $\sin \alpha = \frac{1}{4}$, то $\alpha = \arcsin(\frac{1}{4})$. Тогда $\cos \alpha = \cos(\arcsin(\frac{1}{4}))$. Мы знаем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, значит $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$. Подставляем: $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$. 1014 в) Раз $\sin \alpha = 0$, то $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$. Если $\alpha = 0^\circ$, то $\cos \alpha = \cos 0^\circ = 1$. Если $\alpha = 180^\circ$, то $\cos \alpha = \cos 180^\circ = -1$. 1015 a) Раз $\cos \alpha = 1$, то $\alpha = 0^\circ$. Тогда $\tan \alpha = \tan 0^\circ = 0$. 1015 б) Раз $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\alpha = 150^\circ$. Тогда $\tan \alpha = \tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. 1015 в) Раз $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то $\alpha = 45^\circ$. Тогда $\tan \alpha = \tan 45^\circ = 1$. 1015 г) Раз $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ и $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то $\alpha$ находится во втором квадранте, где синус положительный, а косинус отрицательный. Сначала найдем $\cos \alpha$. Мы знаем, что $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, значит $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}$. Подставляем: $\cos \alpha = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$. Теперь найдем $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$. 1016 Для угла $120^\circ$: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$ $\tan 120^\circ = -\sqrt{3}$ Для угла $150^\circ$: $\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$ $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\tan 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ 1019 а) Если точка $A$ имеет координаты $(2; 2)$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ равен $45^\circ$, потому что $x = 2$ и $y = 2$, и $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1$. Значит, $\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$. 1019 б) Если точка $A$ имеет координаты $(0; 3)$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ равен $90^\circ$, потому что точка лежит на положительной оси $Oy$. 1019 в) Если точка $A$ имеет координаты $(-\sqrt{3}; 1)$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ можно найти так: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Так как $x$ отрицательный, а $y$ положительный, то угол находится во втором квадранте. Тогда $\alpha = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$. 1019 г) Если точка $A$ имеет координаты $(-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, то угол между лучом $OA$ и положительной осью $Ox$ можно найти так: $\tan \alpha = \frac{y}{x} = \frac{2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = -1$. Так как $x$ отрицательный, а $y$ положительный, то угол находится во втором квадранте. Тогда $\alpha = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.