Конечно, давай разберём эти задачки вместе!
1. Трёхзначные числа из цифр 1, 2, 3:
У нас есть три варианта для первой цифры, два для второй и один для последней. Значит, всего вариантов $3*2*1 = 6$.
2. Очередь из 5 машин:
Здесь тоже самое: $5*4*3*2*1 = 120$ способов.
3. Путешествие по 5 городам:
Первый город можно выбрать 5 способами, второй — 4, и так далее. Итого $5*4*3*2*1 = 120$ способов.
4. Конфеты в коробке 3x3:
Нужно просто посчитать, сколькими способами можно разложить 9 конфеток по 9 ячейкам. Это $9! = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362880$ вариантов.
5. Пары на танцплощадке:
Сложная задачка! Нужно выбрать 10 юношей из 10 и 10 девушек из 10. Это можно сделать одним способом. Но потом нужно разбить их на пары. Получается, что первый юноша может танцевать с любой из 10 девушек, второй — с любой из оставшихся 9, и так далее. Значит, всего $10! = 3628800$ способов.
6. Проводники в поезде:
Тут нужно 17 проводников распределить по 17 вагонам. Получается $17!$ (это факториал 17). Калькулятор выдаёт огромное число, примерно 3,56 * 10^14.
7. Пары на дискотеке:
Нужно выбрать 14 мальчиков из 15 и 14 девочек из 14. Количество способов выбрать 14 мальчиков из 15 - это 15. А девочек можно выбрать одним способом, так как их всего 14. А потом нужно составить пары. Значит, ответ $15 * 14!$ (14 факториал). Это тоже очень большое число!
8. Шарики на ёлках:
У нас есть 5 шариков и 5 ёлок. На каждую ёлку нужно надеть по одному шарику. Это можно сделать $5! = 120$ способами. Если можно надевать несколько шариков, то тут сложнее. Допустим, мы можем надеть от 1 до 5 шариков на каждую ёлку. Тогда вариантов становится гораздо больше, и нужно считать по-другому.
9. Очередь в столовой:
25 учеников могут выстроиться в $25!$ (25 факториал) способов. Это огромное число. Если Петя и Коля не должны стоять рядом, то нужно из общего количества вычесть те варианты, когда они стоят рядом.
10. Петя за Колей:
Если Петя должен стоять сразу за Колей, то можно считать их как один объект. Тогда у нас остаётся 24 объекта для перестановки. Это $24!$ (24 факториал) способов.
11. Пятизначные числа:
Нужно переставлять цифры в числе 12345 так, чтобы чётные цифры (2 и 4) не стояли рядом. Это сложно, нужно считать варианты.
12. Анаграммы:
а) "точка" - 5 букв, все разные. $5! = 120$
б) "прямая" - 6 букв, все разные. $6! = 720$
в) "молоко" - 6 букв, буква "о" встречается три раза. $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$
г) "парабола" - 8 букв, буквы "а" и "б" встречаются два раза. $\frac{8!}{2!2!} = \frac{40320}{4} = 10080$
д) "произведение" - 11 букв, буква "е" встречается два раза, буква "и" тоже два раза. $\frac{11!}{2!2!} = \frac{39916800}{4} = 9979200$
е) «комбинаторика» - 12 букв, буква "о" встречается два раза, буква "к" два раза, буква "и" два раза. $\frac{12!}{2!2!2!} = \frac{479001600}{8} = 59875200$
13. Последовательности:
а) "автор" - 5 букв, все разные. $5! = 120$
б) "бабуин" - 6 букв, буква "б" встречается два раза, буква "у" два раза. $\frac{6!}{2!2!} = \frac{720}{4} = 180$
в) "молоко" - 6 букв, буква "о" встречается три раза. $\frac{6!}{3!} = \frac{720}{6} = 120$
г) "способ" - 6 букв, все разные. $6! = 720$
д) "математика" - 10 букв, буква "м" встречается два раза, буква "а" три раза, буква "т" два раза. $\frac{10!}{2!3!2!} = \frac{3628800}{24} = 151200$
14. Линейка из 8 "А" и 8 "Б":
У нас 24 человека из каждого класса, итого 48 человек. Сначала должны стоять ученики 8"А", а потом 8"Б". Это значит, что мы просто переставляем учеников внутри каждого класса. Ответ: $(24!)*(24!)$
15. Футбольная команда:
Всего в команде $1+4+4+2 = 11$ человек. Сначала вратарь, потом защитники, потом полузащитники и в конце нападающие. Варианты перестановок: $4! * 4! * 2! = 24 * 24 * 2 = 1152$.
16. Круглый стол:
5 мальчиков и 5 девочек чередуются. Сначала рассаживаем мальчиков, потом девочек. Важно, чтобы мальчики занимали чётные номера. Это значит, что у нас есть 5 чётных мест для 5 мальчиков. Рассадить 5 мальчиков на 5 мест можно $5!$ способами. Затем рассаживаем 5 девочек на 5 оставшихся мест тоже $5!$ способами. Итого $5! * 5! = 120 * 120 = 14400$ способов.
