1. На рисунке 171 дано, что прямые $a$ и $b$ параллельны, и угол $\angle 2 = 127^\circ$. Нужно найти углы $\angle 1$ и $\angle 3$.
* $\angle 1$ и $\angle 2$ — это смежные углы, поэтому $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Отсюда $\angle 1 = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$.
* $\angle 3$ и $\angle 2$ — соответственные углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Соответственные углы равны, значит, $\angle 3 = \angle 2 = 127^\circ$.
**Ответ:** $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 3 = 127^\circ$.
2. На рисунке 172 дано, что прямые $a$ и $b$ параллельны, и $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 159^\circ$. Нужно найти углы $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$.
**Допущение:** Прямые углы не обозначены, предположим, что $\angle 1 = \angle 3$.
* $\angle 1 = \angle 3$ как соответственные углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$.
* $\angle 2$ и $\angle 3$ — односторонние углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$, значит, $\angle 2 = 180^\circ - \angle 3$.
* Подставим известные значения в уравнение $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 159^\circ$: $\angle 3 + (180^\circ - \angle 3) + \angle 3 = 159^\circ$. Отсюда $\angle 3 = 159^\circ - 180^\circ = -21^\circ$. Это невозможно, так как угол не может быть отрицательным. Возможно, в условии есть опечатка. Если $\angle 1 + \angle 2 + \angle 4 = 159^\circ$, то решение будет следующим:
* $\angle 4 = \angle 1$ как соответственные углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$.
* $\angle 2$ и $\angle 4$ — внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей. Внутренние накрест лежащие углы равны, значит, $\angle 2 = \angle 4$.
* Подставим известные значения в уравнение $\angle 1 + \angle 2 + \angle 4 = 159^\circ$: $\angle 4 + \angle 4 + \angle 4 = 159^\circ$. Отсюда $\angle 4 = 159^\circ / 3 = 53^\circ$. Значит, $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 2 = 53^\circ$.
* $\angle 3$ и $\angle 1$ — смежные углы, поэтому $\angle 3 + \angle 1 = 180^\circ$. Отсюда $\angle 3 = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$.
**Ответ:** $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 2 = 53^\circ$, $\angle 3 = 127^\circ$, $\angle 4 = 53^\circ$.
3. На рисунке 173 дано, что $PR = ST$ и $\angle 1 = \angle 2$. Нужно доказать, что $PS \parallel RT$.
* Рассмотрим треугольники $PRS$ и $STR$.
* У них сторона $SR$ — общая, $PR = ST$ по условию, $\angle 1 = \angle 2$ по условию.
* Значит, треугольники $PRS$ и $STR$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
* Из равенства треугольников следует равенство углов $PSR$ и $SRT$. Эти углы — внутренние накрест лежащие при прямых $PS$ и $RT$ и секущей $SR$.
* Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, $PS \parallel RT$.
4. В окружности проведен диаметр $MN$ и параллельные хорды $MK$ и $NL$. Нужно доказать, что данные хорды равны.
**Доказательство:**
* Проведем радиусы $OK$ и $OL$.
* Углы $MKO$ и $LNO$ равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $MK$ и $NL$ и секущей $MO$.
* Треугольники $MKO$ и $LNO$ — равнобедренные, так как $OK = OL$ как радиусы одной окружности. Значит, углы при основании этих треугольников равны.
* Следовательно, $\angle MOK = \angle NOL$ как углы при вершинах равнобедренных треугольников с равными углами при основании.
* Тогда хорды, на которые опираются эти углы, равны: $MK = NL$.
5. Прямая, параллельная основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекает боковые стороны треугольника в точках $M$ и $N$. Нужно найти углы треугольника $MNB$, если $\angle BAC = 64^\circ$.
* $\angle BCA = \angle BAC = 64^\circ$, так как треугольник $ABC$ — равнобедренный.
* $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 64^\circ - 64^\circ = 52^\circ$.
* $\angle AMN = \angle ABC = 64^\circ$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$.
* $\angle ANM = \angle ACB = 64^\circ$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $BC$.
* $\angle MNB = 180^\circ - \angle ANM = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ как смежные углы.
* $\angle NMB = 180^\circ - \angle AMN = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$ как смежные углы.
* $\angle MBN = \angle ABC = 52^\circ$.
**Ответ:** $\angle MNB = 116^\circ$, $\angle NMB = 116^\circ$, $\angle MBN = 52^\circ$.
