Помоги решить задачи по геометрии из контрольной работы: 1. На рисунке 171 a||b, ∠2 = 127°. Найди ∠1, ∠3.

1. \*\*Дано:\*\* $a \parallel b$, $\angle 2 = 127^\circ$ \*\*Найти:\*\* $\angle 1$, $\angle 3$ Решение: $\angle 1$ и $\angle 2$ — односторонние углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$. $$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$$ $$\angle 1 = 180^\circ - \angle 2 = 180^\circ - 127^\circ = 53^\circ$$ $\angle 3$ и $\angle 2$ — соответственные углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Соответственные углы равны. $$\angle 3 = \angle 2 = 127^\circ$$ \*\*Ответ:\*\* $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 3 = 127^\circ$ 2. \*\*Дано:\*\* $a \parallel b$, $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 159^\circ$ \*\*Найти:\*\* $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$, $\angle 4$ Решение: $\angle 1$ и $\angle 2$ — внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Внутренние накрест лежащие углы равны. $$\angle 1 = \angle 2$$ $\angle 3$ и $\angle 2$ — соответственные углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Соответственные углы равны. $$\angle 3 = \angle 2$$ Тогда: $$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 2 + \angle 2 = 3 \angle 2 = 159^\circ$$ $$\angle 2 = \frac{159^\circ}{3} = 53^\circ$$ $$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = 53^\circ$$ $\angle 4$ и $\angle 1$ — односторонние углы при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$. $$\angle 4 + \angle 1 = 180^\circ$$ $$\angle 4 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 53^\circ = 127^\circ$$ \*\*Ответ:\*\* $\angle 1 = 53^\circ$, $\angle 2 = 53^\circ$, $\angle 3 = 53^\circ$, $\angle 4 = 127^\circ$ 3. \*\*Дано:\*\* $PR = ST$, $\angle 1 = \angle 2$ \*\*Доказать:\*\* $PS \parallel RT$ Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle PRT$ и $\triangle STP$: $PR = ST$ (по условию), $\angle 1 = \angle 2$ (по условию), $PT$ — общая сторона. Следовательно, $\triangle PRT = \triangle STP$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть $\angle RPT = \angle PTS$. $\angle RPT$ и $\angle PTS$ — внутренние накрест лежащие углы при прямых $PS$ и $RT$ и секущей $PT$. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $PS \parallel RT$. Что и требовалось доказать. 4. \*\*Дано:\*\* Окружность с диаметром $MN$, хорды $MK \parallel NL$. \*\*Доказать:\*\* $MK = NL$. Доказательство: Проведём радиусы $OK$ и $OL$. Так как $MK \parallel NL$, то $\angle MKO = \angle LNM$ как внутренние накрест лежащие углы. $\triangle MKO$ и $\triangle LNM$ — равнобедренные, так как $OK = OM = LN = ON$ как радиусы. Тогда $\angle MKO = \angle KMO$ и $\angle LNM = \angle NLM$. Следовательно, $\angle KMO = \angle NLM$. Рассмотрим $\triangle MOK$ и $\triangle NOL$: $OM = ON$ (радиусы), $OK = OL$ (радиусы), $\angle KMO = \angle NLM$ (доказано выше). Следовательно, $\triangle MOK = \triangle NOL$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть $MK = NL$. Что и требовалось доказать. 5. \*\*Дано:\*\* $\triangle ABC$ — равнобедренный, $AC$ — основание, $MN \parallel AC$, $M \in AB$, $N \in BC$, $\angle BAC = 64^\circ$. \*\*Найти:\*\* Углы $\triangle MNB$. Решение: Так как $\triangle ABC$ — равнобедренный и $AC$ — основание, то $\angle BCA = \angle BAC = 64^\circ$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит, $\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - 64^\circ - 64^\circ = 52^\circ$. Так как $MN \parallel AC$, то $\angle BMN = \angle BAC = 64^\circ$ и $\angle BNM = \angle BCA = 64^\circ$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущих $AB$ и $BC$ соответственно. Тогда $\triangle MNB$ — равнобедренный с основанием $MN$, $\angle MNB = \angle NMB = 64^\circ$, $\angle MBN = \angle ABC = 52^\circ$. \*\*Ответ:\*\* $\angle MNB = 64^\circ$, $\angle NMB = 64^\circ$, $\angle MBN = 52^\circ$.