Реши задачу: Теплоход проплыл 48 км по течению реки и 42 км по озеру, затратив на весь путь 6 часов. Найди собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

Конечно, давай решим эти задания! **1. Задача про теплоход** Обозначим собственную скорость теплохода за $x$ км/ч. Тогда: * Скорость по течению: $(x + 2)$ км/ч * Скорость против течения (в озере): $x$ км/ч Время, затраченное на путь по реке: $\frac{48}{x + 2}$ часов Время, затраченное на путь по озеру: $\frac{42}{x}$ часов Вместе это составляет 6 часов. Получаем уравнение: $$\frac{48}{x + 2} + \frac{42}{x} = 6$$ Решим это уравнение: $$\frac{48x + 42(x + 2)}{x(x + 2)} = 6$$ $$48x + 42x + 84 = 6x^2 + 12x$$ $$6x^2 - 78x - 84 = 0$$ $$x^2 - 13x - 14 = 0$$ Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 169 + 56 = 225$. Корни: $$x_1 = \frac{13 + \sqrt{225}}{2} = \frac{13 + 15}{2} = 14$$ $$x_2 = \frac{13 - 15}{2} = -1$$ Отрицательная скорость не имеет смысла, поэтому собственная скорость теплохода равна 14 км/ч. **Ответ: 14 км/ч** **2. Упрощение выражений** a) $\frac{a^5 a^{-8}}{a^{-2}} = a^{5-8-(-2)} = a^{-1} = \frac{1}{a}$. Если $a = 6$, то $\frac{1}{6}$. б) $(c^5 c^{-3})^{-1} = (c^{5-3})^{-1} = (c^2)^{-1} = c^{-2} = \frac{1}{c^2}$. Если $c = \frac{1}{3}$, то $\frac{1}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9$. в) $\frac{m^6 m^{-\frac{2}{5}}}{m^{-3} m^7} = \frac{m^{6-\frac{2}{5}}}{m^{4}} = \frac{m^{\frac{28}{5}}}{m^4} = m^{\frac{28}{5} - 4} = m^{\frac{8}{5}}$. Если $m = 0,5 = \frac{1}{2}$, то $(\frac{1}{2})^{\frac{8}{5}} = (2^{-1})^{\frac{8}{5}} = 2^{-\frac{8}{5}}$. г) $\frac{n^{-5} n^{-1}}{n^{-4} n^{10}} = \frac{n^{-6}}{n^{6}} = n^{-12} = \frac{1}{n^{12}}$. Если $n = 10$, то $\frac{1}{10^{12}} = 10^{-12}$. **3. Сокращение дробей** a) $\frac{6x^2 - 19x + 13}{2x^2 + 7x - 9}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: $6x^2 - 19x + 13 = (6x-13)(x-1)$ $2x^2 + 7x - 9 = (2x+9)(x-1)$ Сокращаем: $\frac{(6x-13)(x-1)}{(2x+9)(x-1)} = \frac{6x-13}{2x+9}$ б) $\frac{21x^2 + x - 2}{2 + 5x - 3x^2}$. Разложим числитель и знаменатель на множители: $21x^2 + x - 2 = (3x - 1)(7x + 2)$ $2 + 5x - 3x^2 = -(3x - 2)(x+1)$ $\frac{(3x - 1)(7x + 2)}{-(3x - 2)(x+1)} = -\frac{(3x - 1)(7x + 2)}{(3x - 2)(x+1)}$