Можешь доказать, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если ∠BAC=∠ACD и ∠BCA= ∠DAC?

Конечно, давай докажем! **а) Если $\angle BAC = \angle ACD$ и $\angle BCA = \angle DAC$:** Это означает, что у нас есть четырёхугольник $ABCD$, у которого углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны, и углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ тоже равны. Если $\angle BAC = \angle ACD$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны (потому что $\angle BAC$ и $\angle ACD$ - накрест лежащие углы). Если $\angle BCA = \angle DAC$, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны (по той же причине - это накрест лежащие углы). Итак, у нас $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Это значит, что $ABCD$ - параллелограмм, потому что у него противоположные стороны попарно параллельны. **б) Если $AB \parallel CD$ и $\angle A = \angle C$:** Здесь нам дано, что $AB$ и $CD$ параллельны, и угол $A$ равен углу $C$. Раз $AB \parallel CD$, то углы $\angle A$ и $\angle D$ в сумме дают 180 градусов (потому что это односторонние углы при параллельных прямых). $$\angle A + \angle D = 180^\circ$$ То же самое можно сказать про углы $\angle C$ и $\angle B$: $$\angle C + \angle B = 180^\circ$$ Нам известно, что $\angle A = \angle C$. Поэтому мы можем заменить $\angle A$ на $\angle C$ в первом уравнении: $$\angle C + \angle D = 180^\circ$$ Теперь у нас есть два уравнения: $$\angle C + \angle B = 180^\circ$$ $$\angle C + \angle D = 180^\circ$$ Из этого следует, что $\angle B = \angle D$. Итак, у нас $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$. Это значит, что противоположные углы в четырёхугольнике $ABCD$ равны. А если в четырёхугольнике противоположные углы равны, то это параллелограмм. Вот и всё, мы доказали!