18. Давай найдем область значений функций!
a) Функция $f(x) = 2x - 1$, где $1 \le x \le 4$.
Чтобы найти область значений, нужно просто подставить границы интервала для $x$ в функцию.
- Если $x = 1$, то $f(1) = 2 * 1 - 1 = 1$.
- Если $x = 4$, то $f(4) = 2 * 4 - 1 = 7$.
Значит, область значений функции $f(x)$ будет от 1 до 7, то есть $1 \le f(x) \le 7$.
б) Функция $g(x) = -3x + 8$, где $-2 \le x \le 5$.
- Если $x = -2$, то $g(-2) = -3 * (-2) + 8 = 6 + 8 = 14$.
- Если $x = 5$, то $g(5) = -3 * 5 + 8 = -15 + 8 = -7$.
Значит, область значений функции $g(x)$ будет от -7 до 14, то есть $-7 \le g(x) \le 14$.
19. Сейчас определим область определения и область значений каждой из функций: $y = x^2$, $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$.
- $y = x^2$:
- Область определения: $x$ может быть любым числом, то есть от минус бесконечности до плюс бесконечности. Пишем так: $(-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $y$ всегда больше или равно нулю, потому что квадрат любого числа неотрицателен. Пишем так: $[0; +\infty)$.
- $y = x^3$:
- Область определения: $x$ может быть любым числом: $(-\infty; +\infty)$.
- Область значений: $y$ тоже может быть любым числом: $(-\infty; +\infty)$.
- $y = \sqrt{x}$:
- Область определения: $x$ должен быть больше или равен нулю, потому что корень можно извлекать только из неотрицательных чисел. Пишем так: $[0; +\infty)$.
- Область значений: $y$ тоже всегда больше или равно нулю: $[0; +\infty)$.
20. Давай найдем область определения и область значений функции $y = \frac{x^2}{x^2 + 1}$.
- Область определения: $x$ может быть любым числом, потому что знаменатель $x^2 + 1$ никогда не станет нулем. Значит, область определения: $(-\infty; +\infty)$.
- Область значений: Здесь немного сложнее. Заметим, что $y$ всегда больше или равно нулю, потому что и числитель ($x^2$), и знаменатель ($x^2 + 1$) всегда положительные или равны нулю. Также $y$ всегда меньше 1, потому что числитель всегда меньше знаменателя. Значит, область значений: $[0; 1)$.
21. Периметр равнобедренного треугольника
Периметр $P$ равнобедренного треугольника с основанием $20$ см и боковой стороной $x$ (см) равен: $P = 2x + 20$.
По условию, периметр не превосходит 100 см, то есть $P \le 100$.
$2x + 20 \le 100$
$2x \le 80$
$x \le 40$
Еще нужно учесть, что сумма двух сторон треугольника должна быть больше третьей стороны. В нашем случае: $x + x > 20$, то есть $2x > 20$ и $x > 10$.
Итак:
- Формула функции, выражающая зависимость периметра от длины боковой стороны: $P(x) = 2x + 20$.
- Область определения: $10 < x \le 40$.
- Область значений: $40 < P \le 100$.
22. Определим, какой формулой задан график на рисунке 8.
По графику видно, что это прямая линия. На графике есть две точки, которые легко определить: $(0; 1)$ и $(1; 2)$.
Подставим эти точки в каждую из формул и посмотрим, какая подойдет:
- $y = x - 1$: Если $x = 0$, то $y = -1$ (не подходит).
- $y = 1 + x$: Если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = 1$, то $y = 2$ (подходит!).
- $y = 2x - 1$: Если $x = 0$, то $y = -1$ (не подходит).
- $y = 1 - 2x$: Если $x = 0$, то $y = 1$; если $x = 1$, то $y = -1$ (не подходит).
Значит, график задан формулой $y = 1 + x$.
Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что, спрашивай ещё!
