1098. Чтобы ответить на эти вопросы, давай вспомним, что такое единичная полуокружность. Это полуокружность радиусом 1 с центром в начале координат.
а) Абсцисса (x-координата) точки на единичной полуокружности может принимать значения от -1 до 1. Проверим, какие из предложенных значений входят в этот интервал:
* 0,3 - да, входит.
* $\frac{1}{3}$ - это примерно 0,33, да, входит.
* $-1$ - да, это крайняя левая точка полуокружности.
* $\frac{1}{2}$ - это 0,5, да, входит.
* $-2,8$ - нет, не входит, так как меньше -1.
б) Ордината (y-координата) точки на единичной полуокружности может принимать значения от 0 до 1. Проверим:
* 0,6 - да, входит.
* $\frac{1}{7}$ - это примерно 0,14, да, входит.
* -0,3 - нет, не входит, так как отрицательное число.
* 7 - нет, не входит, так как больше 1.
* 1,002 - нет, не входит, так как больше 1.
1099. Чтобы проверить, лежат ли точки на единичной полуокружности, нужно убедиться, что для каждой точки выполняется уравнение $x^2 + y^2 = 1$ и что $y \ge 0$ (так как это полуокружность).
* $M_1(0; 1)$: $0^2 + 1^2 = 1$. Подходит.
* $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$: $(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$. Подходит.
* $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$: $(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1$. Подходит.
* $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$: $(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$. Подходит.
* $A(1; 0)$: $1^2 + 0^2 = 1$. Подходит.
* $B(-1; 0)$: $(-1)^2 + 0^2 = 1$. Подходит.
Теперь найдем значения синуса, косинуса и тангенса для углов $AOM_1, AOM_2, AOM_3, AOM_4, AOB$.
* $AOM_1$: $M_1(0; 1)$. Это угол 90 градусов ($\frac{\pi}{2}$ радиан). $\sin(90^\circ) = 1$, $\cos(90^\circ) = 0$, $\tan(90^\circ)$ не определен.
* $AOM_2$: $M_2(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол 60 градусов ($\frac{\pi}{3}$ радиан). $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
* $AOM_3$: $M_3(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол 45 градусов ($\frac{\pi}{4}$ радиан). $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan(45^\circ) = 1$.
* $AOM_4$: $M_4(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$. Чтобы найти угол, можно воспользоваться тем, что $\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$ и $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол 150 градусов ($\frac{5\pi}{6}$ радиан). $\sin(150^\circ) = \frac{1}{2}$, $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
* $AOB$: $B(-1; 0)$. Это угол 180 градусов ($\pi$ радиан). $\sin(180^\circ) = 0$, $\cos(180^\circ) = -1$, $\tan(180^\circ) = 0$.
1100. a) Если $\cos \alpha = \frac{1}{2}$, то $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
б) Если $\cos \alpha = -\frac{2}{3}$, то $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
в) Если $\cos \alpha = -1$, то $\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (-1)^2} = \sqrt{1 - 1} = 0$.
1101. a) Если $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
б) Если $\sin \alpha = \frac{1}{4}$, то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - (\frac{1}{4})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
в) Если $\sin \alpha = 0$, то $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - 0^2} = \sqrt{1} = 1$.
