Ты просишь найти значение выражения и упростить другие выражения.

Конечно, давай решим эти примеры! 1) Тут нужно найти значение выражения: $$\frac{12}{12-5\sqrt{6}} - \frac{12}{12+5\sqrt{6}}$$ Чтобы решить, давай сначала избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение знаменателя: $$\frac{12}{12-5\sqrt{6}} \cdot \frac{12+5\sqrt{6}}{12+5\sqrt{6}} - \frac{12}{12+5\sqrt{6}} \cdot \frac{12-5\sqrt{6}}{12-5\sqrt{6}}$$ Теперь упростим: $$\frac{12(12+5\sqrt{6})}{(12-5\sqrt{6})(12+5\sqrt{6})} - \frac{12(12-5\sqrt{6})}{(12+5\sqrt{6})(12-5\sqrt{6})}$$ В знаменателе у нас разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Так что: $$\frac{12(12+5\sqrt{6})}{144 - (5\sqrt{6})^2} - \frac{12(12-5\sqrt{6})}{144 - (5\sqrt{6})^2}$$ $$\frac{12(12+5\sqrt{6})}{144 - 150} - \frac{12(12-5\sqrt{6})}{144 - 150}$$ $$\frac{12(12+5\sqrt{6})}{-6} - \frac{12(12-5\sqrt{6})}{-6}$$ Теперь сократим дроби: $$-2(12+5\sqrt{6}) + 2(12-5\sqrt{6})$$ $$-24 - 10\sqrt{6} + 24 - 10\sqrt{6}$$ $$-20\sqrt{6}$$ **Ответ:** $$-20\sqrt{6}$$ 2) Нужно найти значение выражения: $$\frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{24}-1} - \frac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{24}+1}$$ Чтобы решить этот пример, нам нужно избавиться от иррациональности в знаменателе. Сначала упростим выражение, заметив, что $\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$. Тогда выражение станет таким: $$\frac{3}{\sqrt{7}+2\sqrt{6}-1} - \frac{3}{\sqrt{7}+2\sqrt{6}+1}$$ Теперь, чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение. Для этого сгруппируем члены в знаменателе: $$\frac{3}{(\sqrt{7}+2\sqrt{6})-1} - \frac{3}{(\sqrt{7}+2\sqrt{6})+1}$$ Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение $(\sqrt{7}+2\sqrt{6})+1$ для первой дроби и $(\sqrt{7}+2\sqrt{6})-1$ для второй дроби: $$\frac{3((\sqrt{7}+2\sqrt{6})+1)}{((\sqrt{7}+2\sqrt{6})-1)((\sqrt{7}+2\sqrt{6})+1)} - \frac{3((\sqrt{7}+2\sqrt{6})-1)}{((\sqrt{7}+2\sqrt{6})+1)((\sqrt{7}+2\sqrt{6})-1)}$$ Знаменатель упрощается до разности квадратов: $$\frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}+1)}{(\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2 - 1} - \frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}-1)}{(\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2 - 1}$$ Раскроем квадрат: $(\sqrt{7}+2\sqrt{6})^2 = 7 + 4\sqrt{42} + 24 = 31 + 4\sqrt{42}$ Теперь подставим это в знаменатель: $$\frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}+1)}{31 + 4\sqrt{42} - 1} - \frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}-1)}{31 + 4\sqrt{42} - 1}$$ $$\frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}+1)}{30 + 4\sqrt{42}} - \frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}-1)}{30 + 4\sqrt{42}}$$ Теперь объединим дроби: $$\frac{3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}+1) - 3(\sqrt{7}+2\sqrt{6}-1)}{30 + 4\sqrt{42}}$$ $$\frac{3\sqrt{7}+6\sqrt{6}+3 - 3\sqrt{7}-6\sqrt{6}+3}{30 + 4\sqrt{42}}$$ $$\frac{6}{30 + 4\sqrt{42}}$$ Сократим дробь: $$\frac{3}{15 + 2\sqrt{42}}$$ Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: $$\frac{3(15 - 2\sqrt{42})}{(15 + 2\sqrt{42})(15 - 2\sqrt{42})}$$ $$\frac{3(15 - 2\sqrt{42})}{225 - 4 \cdot 42}$$ $$\frac{3(15 - 2\sqrt{42})}{225 - 168}$$ $$\frac{3(15 - 2\sqrt{42})}{57}$$ $$\frac{15 - 2\sqrt{42}}{19}$$ **Ответ:** $\frac{15 - 2\sqrt{42}}{19}$ 3) Тут нужно найти значение выражения: $$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$$ Чтобы решить, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на сопряжённое выражение знаменателя: $$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} + \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$$ Упростим: $$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{5-3} + \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{5-3}$$ $$\frac{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^2}{2} + \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2}{2}$$ Раскроем квадраты: $$\frac{5 - 2\sqrt{15} + 3}{2} + \frac{5 + 2\sqrt{15} + 3}{2}$$ $$\frac{8 - 2\sqrt{15}}{2} + \frac{8 + 2\sqrt{15}}{2}$$ Объединим дроби: $$\frac{8 - 2\sqrt{15} + 8 + 2\sqrt{15}}{2}$$ $$\frac{16}{2}$$ $$8$$ **Ответ:** 8 6. Упростить выражение: 1) $$\frac{a}{a-1} - \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}$$ Чтобы решить этот пример, нужно привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что $a-1 = (\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)$. Тогда общий знаменатель будет $(a-1)$. $$\frac{a}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)} - \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)}$$ Теперь объединим дроби: $$\frac{a - \sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}$$ $$\frac{a - a + \sqrt{a}}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}$$ $$\frac{\sqrt{a}}{a-1}$$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{a}}{a-1}$ 2) $$\frac{a+b}{\sqrt{ab}-b} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$ Преобразуем первое слагаемое, вынеся $$\sqrt{b}$$ за скобки в знаменателе: $$\frac{a+b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$$ Теперь приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{a+b}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})} - \frac{2\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$ Объединяем дроби: $$\frac{a+b - 2\sqrt{ab}}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$ Замечаем, что в числителе полный квадрат: $$\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{\sqrt{b}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}$$ Сокращаем дробь: $$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$$ **Ответ:** $\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{b}}$ 3) $$\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}} : \frac{x-36}{4x}$$ Чтобы решить этот пример, нужно разделить первую дробь на вторую. Деление - это умножение на перевёрнутую дробь: $$\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{x-36}$$ Заметим, что $x-36 = (\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)$. Тогда упростим: $$\frac{\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{(\sqrt{x}-6)(\sqrt{x}+6)}$$ Сократим $(\sqrt{x}-6)$: $$\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{4x}{\sqrt{x}+6}$$ $$\frac{4x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+6)}$$ $$\frac{4x}{x+6\sqrt{x}}$$ **Ответ:** $\frac{4x}{x+6\sqrt{x}}$ 4) Тут нужно упростить выражение: $$\left(\frac{\sqrt{a}-5}{\sqrt{a}+5} + \frac{20\sqrt{a}}{a-25}\right) : \frac{\sqrt{a}+5}{a-5\sqrt{a}}$$ Чтобы решить, сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $a-25 = (\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)$. Тогда общий знаменатель будет $(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)$: $$\frac{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}-5)}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)} + \frac{20\sqrt{a}}{(\sqrt{a}-5)(\sqrt{a}+5)}$$ $$\frac{(\sqrt{a}-5)^2 + 20\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)}$$ Раскроем квадрат: $$\frac{a - 10\sqrt{a} + 25 + 20\sqrt{a}}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)}$$ $$\frac{a + 10\sqrt{a} + 25}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)}$$ Заметим, что $a + 10\sqrt{a} + 25 = (\sqrt{a}+5)^2$. Тогда: $$\frac{(\sqrt{a}+5)^2}{(\sqrt{a}+5)(\sqrt{a}-5)}$$ Сократим: $$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5}$$ Теперь вернёмся к исходному выражению и подставим упрощённое выражение в скобках: $$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} : \frac{\sqrt{a}+5}{a-5\sqrt{a}}$$ Разделим первую дробь на вторую, то есть умножим на перевёрнутую дробь: $$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{a-5\sqrt{a}}{\sqrt{a}+5}$$ Заметим, что $a-5\sqrt{a} = \sqrt{a}(\sqrt{a}-5)$. Тогда: $$\frac{\sqrt{a}+5}{\sqrt{a}-5} \cdot \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}-5)}{\sqrt{a}+5}$$ Сократим: $$\sqrt{a}$$ **Ответ:** $\sqrt{a}$