Ты просишь меня найти скалярное произведение векторов AB и AC, BC и BA, AB и CA, BA и CB в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, если известна длина AB.

1. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известно, что $AB = 3\sqrt{2}$. Нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Допущение: так как треугольник равнобедренный и угол $C$ прямой, то $AC = BC$. Так как $AB$ - гипотенуза, то по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, следовательно, $2AC^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$, значит, $AC^2 = 9$ и $AC = 3$. Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равно: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |AB| \cdot |AC| \cdot \cos(\angle BAC)$$ В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$, то есть $\angle BAC = 45^\circ$. Тогда: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9$$ **Ответ: 9** 2. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известно, что $AB = 6\sqrt{2}$. Нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$. Допущение: так как треугольник равнобедренный и угол $C$ прямой, то $AC = BC$. Так как $AB$ - гипотенуза, то по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, следовательно, $2BC^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$, значит, $BC^2 = 36$ и $BC = 6$. Скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ равно: $$\vec{BC} \cdot \vec{BA} = |BC| \cdot |BA| \cdot \cos(\angle CBA)$$ В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны $45^\circ$, то есть $\angle CBA = 45^\circ$. Тогда: $$\vec{BC} \cdot \vec{BA} = 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ) = 6 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 36$$ **Ответ: 36** 3. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известно, что $AB = 5\sqrt{2}$. Нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$. Допущение: так как треугольник равнобедренный и угол $C$ прямой, то $AC = BC$. Так как $AB$ - гипотенуза, то по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, следовательно, $2AC^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50$, значит, $AC^2 = 25$ и $AC = 5$. Скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$ равно: $$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = |AB| \cdot |CA| \cdot \cos(\angle (\vec{AB}, \vec{CA}))$$ Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$, нужно из угла $BCA = 90^\circ$ вычесть угол $BAC = 45^\circ$ и прибавить $180^\circ$, то есть $\angle (\vec{AB}, \vec{CA}) = 135^\circ$. Тогда: $$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 5\sqrt{2} \cdot 5 \cdot \cos(135^\circ) = 5\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -25$$ **Ответ: -25** 4. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Известно, что $AB = 7\sqrt{2}$. Нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CB}$. Допущение: так как треугольник равнобедренный и угол $C$ прямой, то $AC = BC$. Так как $AB$ - гипотенуза, то по теореме Пифагора $AC^2 + BC^2 = AB^2$, следовательно, $2BC^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$, значит, $BC^2 = 49$ и $BC = 7$. Скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CB}$ равно: $$\vec{BA} \cdot \vec{CB} = |BA| \cdot |CB| \cdot \cos(\angle (\vec{BA}, \vec{CB}))$$ Чтобы найти угол между векторами $\vec{BA}$ и $\vec{CB}$, нужно найти сумму углов $BCA = 90^\circ$ и $ACB = 45^\circ$, то есть $\angle (\vec{BA}, \vec{CB}) = 135^\circ$. Тогда: $$\vec{BA} \cdot \vec{CB} = 7\sqrt{2} \cdot 7 \cdot \cos(135^\circ) = 7\sqrt{2} \cdot 7 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -49$$ **Ответ: -49**