Укажи, при каких значениях X функция F(X) имеет производную и найди эту производную, если f(x) = ex³.

Конечно, сейчас помогу разобраться с производными этих функций! Производная показывает, как быстро меняется функция. a) $f(x) = e^{x^3}$ Чтобы найти производную, используем правило цепочки. Сначала берем производную внешней функции (экспоненты), затем умножаем на производную внутренней функции ($x^3$). $$f'(x) = e^{x^3} \cdot (x^3)' = e^{x^3} \cdot 3x^2 = 3x^2e^{x^3}$$ б) $f(x) = e^{-x^4}$ Опять же, используем правило цепочки: $$f'(x) = e^{-x^4} \cdot (-x^4)' = e^{-x^4} \cdot (-4x^3) = -4x^3e^{-x^4}$$ в) $f(x) = 3^x$ Здесь пригодится формула производной показательной функции $a^x$, которая равна $a^x \cdot \ln(a)$. $$f'(x) = 3^x \cdot \ln(3)$$ г) $f(x) = 5^{-x^4}$ Снова применяем правило цепочки и формулу производной показательной функции: $$f'(x) = 5^{-x^4} \cdot \ln(5) \cdot (-x^4)' = 5^{-x^4} \cdot \ln(5) \cdot (-4x^3) = -4x^3 \cdot 5^{-x^4} \cdot \ln(5)$$ д) $f(x) = e^{\sin(x)}$ И снова правило цепочки: $$f'(x) = e^{\sin(x)} \cdot (\sin(x))' = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \cos(x)e^{\sin(x)}$$ е) $f(x) = 9^{\cos(x)}$ Используем правило цепочки и формулу производной показательной функции: $$f'(x) = 9^{\cos(x)} \cdot \ln(9) \cdot (\cos(x))' = 9^{\cos(x)} \cdot \ln(9) \cdot (-\sin(x)) = -\sin(x) \cdot 9^{\cos(x)} \cdot \ln(9)$$ Во всех этих случаях производная существует при любых значениях $x$, так как экспонента, многочлены и тригонометрические функции определены и дифференцируемы на всей числовой прямой. Надеюсь, теперь тебе стало понятнее, как находить производные таких функций! Если что, спрашивай ещё!