Реши задания: Сравни числа: а) 5√3 и 3√5; Найди значение выражения: а) 12 \frac{2}{5} - 2 \frac{2}{7} : 1 \frac{19}{21}; Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел: а) 2,4 \cdot 10^{-2} и 0,0125 \cdot 10^{3}; Найдите значение выражения: а) 7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}.

Сравним числа в задании a) 5√3 и 3√5: 1. Возведём оба числа в квадрат, чтобы избавиться от корней: * $(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75$ * $(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$ 2. Сравним квадраты чисел: $75 > 45$, значит, $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$. **Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$** б) $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$: 1. Преобразуем первое число: * $0,1\sqrt{4500} = 0,1 \cdot \sqrt{45 \cdot 100} = 0,1 \cdot \sqrt{45} \cdot \sqrt{100} = 0,1 \cdot \sqrt{45} \cdot 10 = \sqrt{45}$ 2. Сравним: $\sqrt{45} = \sqrt{45}$ **Ответ: $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$** в) $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$: 1. Преобразуем второе число: * $0,1\sqrt{80} = 0,1 \cdot \sqrt{16 \cdot 5} = 0,1 \cdot 4 \cdot \sqrt{5} = 0,4\sqrt{5}$ 2. Сравним числа, возведя в квадрат: * $(0,3\sqrt{10})^2 = 0,09 \cdot 10 = 0,9$ * $(0,4\sqrt{5})^2 = 0,16 \cdot 5 = 0,8$ 3. Сравним квадраты: $0,9 > 0,8$, значит, $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$. **Ответ: $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$** г) $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$: 1. Внесём $-4$ под корень: * $-4\sqrt{0,2} = -\sqrt{16 \cdot 0,2} = -\sqrt{3,2}$ 2. Сравним числа под корнем. Так как оба числа отрицательные, то больше то число, у которого модуль меньше: * $3,2 > 0,7$, значит, $-\sqrt{3,2} < -\sqrt{0,7}$ **Ответ: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$** Найдем значение выражения в задании а) $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$: 1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: * $12\frac{2}{5} = \frac{12 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{62}{5}$ * $2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$ * $1\frac{19}{21} = \frac{1 \cdot 21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$ 2. Выполним деление: * $\frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{16 \cdot 21}{7 \cdot 40} = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5}$ 3. Выполним вычитание: * $\frac{62}{5} - \frac{6}{5} = \frac{62 - 6}{5} = \frac{56}{5} = 11\frac{1}{5}$ **Ответ: $11\frac{1}{5}$** б) $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21}$: 1. Из предыдущего примера мы знаем, что $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} = \frac{56}{5}$ 2. Также из предыдущего примера мы знаем, что $1\frac{19}{21} = \frac{40}{21}$ 3. Выполним деление: * $\frac{56}{5} : \frac{40}{21} = \frac{56}{5} \cdot \frac{21}{40} = \frac{56 \cdot 21}{5 \cdot 40} = \frac{7 \cdot 21}{5 \cdot 5} = \frac{147}{25} = 5\frac{22}{25}$ **Ответ: $5\frac{22}{25}$** Найдем сумму, разность, произведение и частное чисел в задании а) $2,4 \cdot 10^{-2}$ и $0,0125 \cdot 10^{3}$: 1. Сумма: * $2,4 \cdot 10^{-2} + 0,0125 \cdot 10^{3} = 0,024 + 12,5 = 12,524$ 2. Разность: * $2,4 \cdot 10^{-2} - 0,0125 \cdot 10^{3} = 0,024 - 12,5 = -12,476$ 3. Произведение: * $2,4 \cdot 10^{-2} \cdot 0,0125 \cdot 10^{3} = 0,024 \cdot 12,5 = 0,3$ 4. Частное: * $\frac{2,4 \cdot 10^{-2}}{0,0125 \cdot 10^{3}} = \frac{0,024}{12,5} = 0,00192$ **Ответы:** * **Сумма: 12,524** * **Разность: -12,476** * **Произведение: 0,3** * **Частное: 0,00192** б) $(1,3 \cdot 10^{-2})^2$ и $5,2 \cdot 10^{-5}$: 1. Сумма: * $(1,3 \cdot 10^{-2})^2 + 5,2 \cdot 10^{-5} = (0,013)^2 + 0,000052 = 0,000169 + 0,000052 = 0,000221$ 2. Разность: * $(1,3 \cdot 10^{-2})^2 - 5,2 \cdot 10^{-5} = (0,013)^2 - 0,000052 = 0,000169 - 0,000052 = 0,000117$ 3. Произведение: * $(1,3 \cdot 10^{-2})^2 \cdot 5,2 \cdot 10^{-5} = 0,000169 \cdot 0,000052 = 0,000000008788 = 8,788 \cdot 10^{-9}$ 4. Частное: * $\frac{(1,3 \cdot 10^{-2})^2}{5,2 \cdot 10^{-5}} = \frac{0,000169}{0,000052} = 3,25$ **Ответы:** * **Сумма: 0,000221** * **Разность: 0,000117** * **Произведение: $8,788 \cdot 10^{-9}$** * **Частное: 3,25** в) $15,4 \cdot 10^{6}$ и $0,044 \cdot 10^{4}$: 1. Сумма: * $15,4 \cdot 10^{6} + 0,044 \cdot 10^{4} = 15400000 + 440 = 15400440$ 2. Разность: * $15,4 \cdot 10^{6} - 0,044 \cdot 10^{4} = 15400000 - 440 = 15399560$ 3. Произведение: * $15,4 \cdot 10^{6} \cdot 0,044 \cdot 10^{4} = 15400000 \cdot 440 = 6776000000 = 6,776 \cdot 10^{9}$ 4. Частное: * $\frac{15,4 \cdot 10^{6}}{0,044 \cdot 10^{4}} = \frac{15400000}{440} = 35000$ **Ответы:** * **Сумма: 15400440** * **Разность: 15399560** * **Произведение: $6,776 \cdot 10^{9}$** * **Частное: 35000** г) $(3,5 \cdot 10^{-3})^2$ и $(7 \cdot 10^{-4})^3$: 1. Сумма: * $(3,5 \cdot 10^{-3})^2 + (7 \cdot 10^{-4})^3 = (0,0035)^2 + (0,0007)^3 = 0,00001225 + 0,000000000343 = 0,000012250343 = 1,2250343 \cdot 10^{-5}$ 2. Разность: * $(3,5 \cdot 10^{-3})^2 - (7 \cdot 10^{-4})^3 = (0,0035)^2 - (0,0007)^3 = 0,00001225 - 0,000000000343 = 0,000012249657 = 1,2249657 \cdot 10^{-5}$ 3. Произведение: * $(3,5 \cdot 10^{-3})^2 \cdot (7 \cdot 10^{-4})^3 = 0,00001225 \cdot 0,000000000343 = 0,00000000000000420175 = 4,20175 \cdot 10^{-15}$ 4. Частное: * $\frac{(3,5 \cdot 10^{-3})^2}{(7 \cdot 10^{-4})^3} = \frac{0,00001225}{0,000000000343} = 357,142857142857142857... \approx 3,57 \cdot 10^{2}$ **Ответы:** * **Сумма: $1,2250343 \cdot 10^{-5}$** * **Разность: $1,2249657 \cdot 10^{-5}$** * **Произведение: $4,20175 \cdot 10^{-15}$** * **Частное: $3,57 \cdot 10^{2}$** Найдем значение выражения а) $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$: 1. Упростим выражение, используя свойства степеней: * $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^{2 \cdot 4} : 7^{11} = 7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5 + 8} : 7^{11} = 7^{13} : 7^{11} = 7^{13 - 11} = 7^2 = 49$ **Ответ: 49** б) $11^{-4} : 11^{18} : 11^{17}$: 1. Используем свойства степеней: * $11^{-4} : 11^{18} : 11^{17} = 11^{-4 - 18 - 17} = 11^{-39} = \frac{1}{11^{39}}$ **Ответ: $\frac{1}{11^{39}}$ или $11^{-39}$** в) $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$: 1. Используем свойства степеней: * $5^9 : 5^{-12} : 5^{20} = 5^{9 - (-12) - 20} = 5^{9 + 12 - 20} = 5^{21 - 20} = 5^1 = 5$ **Ответ: 5** г) $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$: 1. Преобразуем выражение, используя свойства степеней и учитывая, что $25 = 5^2$: * $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14} = 10 : 5^{-2 \cdot 13} : (5^2)^{14} = 10 : 5^{-26} : 5^{28} = 10 : 5^{-26 + 28} = 10 : 5^2 = 10 : 25 = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4$ **Ответ: 0,4** д) $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$: 1. Преобразуем выражение, используя свойства степеней и разложение чисел на простые множители: * $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{(3 \cdot 5)^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{(3 \cdot 4)^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{3^5 \cdot 4^5}{3^6 \cdot 4^6} = \frac{3^5 \cdot 5^5 \cdot 3^6 \cdot 4^6}{3^3 \cdot 5^4 \cdot 3^5 \cdot 4^5} = \frac{3^{5+6} \cdot 5^5 \cdot 4^6}{3^{3+5} \cdot 5^4 \cdot 4^5} = \frac{3^{11} \cdot 5^5 \cdot 4^6}{3^8 \cdot 5^4 \cdot 4^5} = 3^{11-8} \cdot 5^{5-4} \cdot 4^{6-5} = 3^3 \cdot 5^1 \cdot 4^1 = 27 \cdot 5 \cdot 4 = 27 \cdot 20 = 540$ **Ответ: 540** е) $\frac{10^{10} \cdot 17^6 \cdot 8^3}{10^{10} \cdot 24^7}$: 1. Разложим числа на простые множители: * $8 = 2^3$ * $24 = 2^3 \cdot 3$ 2. Подставим в выражение: * $\frac{10^{10} \cdot 17^6 \cdot (2^3)^3}{10^{10} \cdot (2^3 \cdot 3)^7} = \frac{10^{10} \cdot 17^6 \cdot 2^9}{10^{10} \cdot 2^{21} \cdot 3^7} = \frac{17^6}{2^{12} \cdot 3^7}$ 3. Вычислить это значение довольно сложно без калькулятора. Но можно оставить ответ в таком виде. **Ответ: $\frac{17^6}{2^{12} \cdot 3^7}$**