Реши задачи по физике о движении тел: 1. Расстояние между пунктами А и В равно 250 км. Одновременно из обоих пунктов навстречу друг другу выезжают два автомобиля. Автомобиль, выехавший из пункта А, движется со скоростью 60 км/ч, а выехавший из пункта В со скоростью 40 км/ч. Через какое время и на каком расстоянии от пункта А встретятся автомобили?

Давай решим задачи по порядку! 1. Чтобы узнать, через какое время встретятся автомобили, нужно сложить их скорости и разделить расстояние на эту сумму: $t = S / (v_1 + v_2)$. А чтобы узнать расстояние от пункта А, нужно скорость первого автомобиля умножить на время встречи. $$t = 250 / (60 + 40) = 250 / 100 = 2.5 \text{ часа}$$ $$S_A = 60 \cdot 2.5 = 150 \text{ км}$$ **Ответ: Через 2,5 часа на расстоянии 150 км от пункта А.** 2. Чтобы узнать, через какое время скорый поезд догонит товарный, нужно найти разницу их скоростей и разделить расстояние, которое товарный поезд проехал за 0,5 часа, на эту разницу: $$S = 36 \cdot 0.5 = 18 \text{ км}$$ $$t = S / (v_2 - v_1) = 18 / (72 - 36) = 18 / 36 = 0.5 \text{ часа}$$ **Ответ: Через 0,5 часа.** 3. Решается почти так же, как первая. Сначала найдём время встречи: $$t = S / (v_1 + v_2) = 120 / (20 + 60) = 120 / 80 = 1.5 \text{ часа}$$ Так как C находится посередине между A и B, то расстояние от A до C равно половине всего расстояния, то есть 60 км. Теперь найдём расстояние от C до места встречи: $$S_{CB} = v_2 \cdot t - S_{CB} = 60 \cdot 1.5 - 60 = 90 - 60 = 30 \text{ км}$$ **Ответ: Через 1,5 часа на расстоянии 30 км от города C.** 4. Чтобы найти скорость второго тела, нужно из формулы скорости сближения тел $v_1 + v_2 = \frac{S}{t}$ выразить $v_2$: $$v_2 = \frac{S}{t} - v_1 = \frac{100}{4} - 20 = 25 - 20 = 5 \text{ м/с}$$ **Ответ: 5 м/с** 5. **Допущение:** Скорость лодки в стоячей воде постоянна. Пусть $v$ - скорость лодки относительно воды, $u$ - скорость течения реки, $S$ - расстояние между пристанями. Тогда: $S = (v + u) \cdot 3$ (по течению) $S = (v - u) \cdot 6$ (против течения) Получается, $(v + u) \cdot 3 = (v - u) \cdot 6$. Решим это уравнение: $$3v + 3u = 6v - 6u$$ $$9u = 3v$$ $$v = 3u$$ Теперь найдём время, за которое лодка проплывёт от B до A с выключенным мотором (то есть, её несёт только течение): $$t = \frac{S}{u} = \frac{(v - u) \cdot 6}{u} = \frac{(3u - u) \cdot 6}{u} = \frac{2u \cdot 6}{u} = 12 \text{ часов}$$ **Ответ: 12 часов.** 6. Пусть $S$ - длина эскалатора, $v_э$ - скорость эскалатора, $v_ч$ - скорость человека. Из условия мы знаем, что: $S = v_э \cdot 1$ (эскалатор поднимает стоящего человека за 1 минуту) $S = v_ч \cdot 3$ (человек поднимается по неподвижному эскалатору за 3 минуты) Тогда $v_э = S$ и $v_ч = S/3$. Если человек идёт по движущемуся эскалатору, то их скорости складываются: $$t = \frac{S}{v_э + v_ч} = \frac{S}{S + S/3} = \frac{S}{\frac{4S}{3}} = \frac{3}{4} \text{ минуты} = 45 \text{ секунд}$$ **Ответ: 45 секунд.** 7. **Допущение:** Скорость течения реки постоянна. Пусть $v_к$ - скорость катера относительно воды, $v_т$ - скорость течения реки, $S$ - расстояние между пристанями A и B. По условию, $v_к = 4v_т$. Время, за которое катер доплывёт от A до B и обратно: $$t_к = \frac{S}{v_к + v_т} + \frac{S}{v_к - v_т} = \frac{S}{4v_т + v_т} + \frac{S}{4v_т - v_т} = \frac{S}{5v_т} + \frac{S}{3v_т} = \frac{3S + 5S}{15v_т} = \frac{8S}{15v_т}$$ За это же время плот проплывёт расстояние: $$S_п = v_т \cdot t_к = v_т \cdot \frac{8S}{15v_т} = \frac{8S}{15}$$ Значит, плот проплывёт $\frac{8}{15}$ пути от A до B. **Ответ: $\frac{8}{15}$** 8. Пусть $S$ - длина эскалатора, $v_э$ - скорость эскалатора, $v_ч$ - скорость человека. Тогда: $S = (v_э + v_ч) \cdot 1$ (человек, идущий вниз по опускающемуся эскалатору, затрачивает на спуск 1 минуту) $S = (v_э + 2v_ч) \cdot (1 - \frac{15}{60}) = (v_э + 2v_ч) \cdot \frac{3}{4}$ (если человек будет идти вдвое быстрее, он затратит на 15 секунд меньше) Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} S = v_э + v_ч \\ S = \frac{3}{4}v_э + \frac{3}{2}v_ч \end{cases}$$ Приравняем правые части: $$v_э + v_ч = \frac{3}{4}v_э + \frac{3}{2}v_ч$$ $$\frac{1}{4}v_э = \frac{1}{2}v_ч$$ $$v_э = 2v_ч$$ Подставим это в первое уравнение: $$S = 2v_ч + v_ч = 3v_ч$$ Если человек стоит на эскалаторе, то время спуска: $$t = \frac{S}{v_э} = \frac{3v_ч}{2v_ч} = 1.5 \text{ минуты}$$ **Ответ: 1,5 минуты.** 9. Пусть $S$ - расстояние между пунктами A и B, $v_л$ - скорость лодки в стоячей воде, $v_т$ - скорость течения реки. Тогда: $S = (v_л + v_т) \cdot 3$ (по течению) $S = v_т \cdot 12$ (плот плывёт по течению) Получается, $(v_л + v_т) \cdot 3 = v_т \cdot 12$. Решим это уравнение: $$3v_л + 3v_т = 12v_т$$ $$3v_л = 9v_т$$ $$v_л = 3v_т$$ Теперь найдём время, за которое лодка проплывёт от B до A: $$t = \frac{S}{v_л - v_т} = \frac{12v_т}{3v_т - v_т} = \frac{12v_т}{2v_т} = 6 \text{ часов}$$ **Ответ: 6 часов.**