Помоги мне решить задачу: Моторная лодка прошла 16 км против течения реки и 12 км по течению реки, затратив на весь путь 3 часа. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Какова собственная скорость моторной лодки?

Давай решим эту задачу вместе! Пусть $x$ км/ч - собственная скорость лодки. Тогда скорость лодки против течения реки будет $(x - 2)$ км/ч, а по течению - $(x + 2)$ км/ч. Время, затраченное на путь против течения, равно $\frac{16}{x - 2}$ часов, а время на путь по течению - $\frac{12}{x + 2}$ часов. Так как общее время в пути составило 3 часа, можем составить уравнение: $$\frac{16}{x - 2} + \frac{12}{x + 2} = 3$$ Чтобы решить это уравнение, сначала избавимся от дробей. Домножим обе части уравнения на $(x - 2)(x + 2)$: $$16(x + 2) + 12(x - 2) = 3(x - 2)(x + 2)$$ Раскроем скобки: $$16x + 32 + 12x - 24 = 3(x^2 - 4)$$ $$28x + 8 = 3x^2 - 12$$ Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $$3x^2 - 28x - 20 = 0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать квадратное уравнение или теорему Виета. Я буду использовать формулу корней квадратного уравнения: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ В нашем случае $a = 3$, $b = -28$, $c = -20$. $$x = \frac{28 \pm \sqrt{(-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20)}}{2 \cdot 3}$$ $$x = \frac{28 \pm \sqrt{784 + 240}}{6}$$ $$x = \frac{28 \pm \sqrt{1024}}{6}$$ $$x = \frac{28 \pm 32}{6}$$ Получаем два возможных значения для $x$: $$x_1 = \frac{28 + 32}{6} = \frac{60}{6} = 10$$ $$x_2 = \frac{28 - 32}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $x = 10$ км/ч. **Ответ: 10 км/ч**