Можешь доказать, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BC совпадают?

Для решения задачи 938 нужно доказать утверждения о векторах и серединах отрезков. Вот как это можно сделать: 1. **Прямое утверждение:** Если векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны, то середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. *Доказательство:* Пусть $K$ и $L$ — середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно. Чтобы доказать, что точки $K$ и $L$ совпадают, нужно показать, что их радиус-векторы равны. Радиус-вектор середины отрезка равен полусумме радиус-векторов концов отрезка. Значит: $$\vec{OK} = \frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2}$$ $$\vec{OL} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$$ Нам нужно доказать, что $\vec{OK} = \vec{OL}$, то есть: $$\frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$$ $$\vec{OA} + \vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$$ Перегруппируем векторы: $$\vec{OD} - \vec{OC} = \vec{OB} - \vec{OA}$$ $$\vec{CD} = \vec{AB}$$ Это верно по условию, значит, середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают. 2. **Обратное утверждение:** Если середины отрезков $AD$ и $BC$ совпадают, то $\vec{AB} = \vec{CD}$. *Доказательство:* Пусть $K$ и $L$ — середины отрезков $AD$ и $BC$ соответственно, и они совпадают, то есть $K = L$. Тогда $\vec{OK} = \vec{OL}$, и, как мы уже знаем: $$\frac{\vec{OA} + \vec{OD}}{2} = \frac{\vec{OB} + \vec{OC}}{2}$$ $$\vec{OA} + \vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC}$$ Перегруппируем векторы: $$\vec{OD} - \vec{OC} = \vec{OB} - \vec{OA}$$ $$\vec{CD} = \vec{AB}$$ Таким образом, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны.