Ты просишь разложить на линейные множители квадратные трехчлены в задании под номером 64, начиная с примера 1) 2x²-7x+3.

Конечно, давай разложим квадратные трехчлены на линейные множители! Это как разложение числа на простые множители, но с многочленами. **1) $2x^2 - 7x + 3$** Чтобы разложить этот трехчлен, сначала найдем его корни. Для этого решим квадратное уравнение: $$2x^2 - 7x + 3 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$ Теперь корни: $$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$$ Теперь запишем разложение на множители. Если у нас есть корни $x_1$ и $x_2$, то трехчлен $ax^2 + bx + c$ раскладывается так: $$a(x - x_1)(x - x_2)$$ В нашем случае это будет: $$2(x - 3)(x - 0.5)$$ Можно еще немного упростить, чтобы не было десятичных дробей: $$2(x - 3)(x - \frac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)$$ **Ответ: $(x - 3)(2x - 1)$** **2) $6a^2 + 5a - 6$** Решаем уравнение: $$6a^2 + 5a - 6 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169$$ Теперь корни: $$a_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$ $$a_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 13}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$$ Записываем разложение: $$6(a - \frac{2}{3})(a + \frac{3}{2})$$ Упрощаем, чтобы не было дробей: $$6(a - \frac{2}{3})(a + \frac{3}{2}) = 3(a - \frac{2}{3}) \cdot 2(a + \frac{3}{2}) = (3a - 2)(2a + 3)$$ **Ответ: $(3a - 2)(2a + 3)$** **3) $3y^2 - 11y - 20$** Решаем уравнение: $$3y^2 - 11y - 20 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$$ Теперь корни: $$y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 + 19}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ $$y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11 - 19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$ Записываем разложение: $$3(y - 5)(y + \frac{4}{3})$$ Упрощаем: $$3(y - 5)(y + \frac{4}{3}) = (y - 5)(3y + 4)$$ **Ответ: $(y - 5)(3y + 4)$** **4) $12x^2 + 7x + 1$** Решаем уравнение: $$12x^2 + 7x + 1 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 49 - 48 = 1$$ Теперь корни: $$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 12} = \frac{-7 + 1}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$$ $$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 12} = \frac{-7 - 1}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$$ Записываем разложение: $$12(x + \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3})$$ Упрощаем: $$12(x + \frac{1}{4})(x + \frac{1}{3}) = 3(x + \frac{1}{4}) \cdot 4(x + \frac{1}{3}) = (4x + 1)(3x + 1)$$ **Ответ: $(4x + 1)(3x + 1)$** **5) $m^2 - 2m - 3$** Решаем уравнение: $$m^2 - 2m - 3 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ Теперь корни: $$m_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$m_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Записываем разложение: $$(m - 3)(m + 1)$$ **Ответ: $(m - 3)(m + 1)$** **6) $72x^2 - 67x + 15$** Решаем уравнение: $$72x^2 - 67x + 15 = 0$$ Считаем дискриминант: $$D = (-67)^2 - 4 \cdot 72 \cdot 15 = 4489 - 4320 = 169$$ Теперь корни: $$x_1 = \frac{-(-67) + \sqrt{169}}{2 \cdot 72} = \frac{67 + 13}{144} = \frac{80}{144} = \frac{5}{9}$$ $$x_2 = \frac{-(-67) - \sqrt{169}}{2 \cdot 72} = \frac{67 - 13}{144} = \frac{54}{144} = \frac{3}{8}$$ Записываем разложение: $$72(x - \frac{5}{9})(x - \frac{3}{8})$$ Упрощаем: $$72(x - \frac{5}{9})(x - \frac{3}{8}) = 8(x - \frac{5}{9}) \cdot 9(x - \frac{3}{8}) = (9x - 5)(8x - 3)$$ **Ответ: $(9x - 5)(8x - 3)$**