Реши задачи 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469 и 470 по геометрии из учебника 8 класса

463. Давай вспомним, что сумма углов выпуклого многоугольника зависит от количества его сторон. Есть формула: $S = (n - 2) * 180^\circ$, где $n$ — число сторон многоугольника, а $S$ — сумма его углов. а) Для пятиугольника ($n = 5$): $S = (5 - 2) * 180^\circ = 3 * 180^\circ = 540^\circ$ б) Для шестиугольника ($n = 6$): $S = (6 - 2) * 180^\circ = 4 * 180^\circ = 720^\circ$ в) Для десятиугольника ($n = 10$): $S = (10 - 2) * 180^\circ = 8 * 180^\circ = 1440^\circ$ **Ответ:** 463. а) $540^\circ$ б) $720^\circ$ в) $1440^\circ$ 464. Количество диагоналей выпуклого многоугольника можно найти по формуле: $D = \frac{n(n - 3)}{2}$, где $n$ — число сторон многоугольника, а $D$ — количество диагоналей. а) Для пятиугольника ($n = 5$): $D = \frac{5(5 - 3)}{2} = \frac{5 * 2}{2} = 5$ б) Для двенадцатиугольника ($n = 12$): $D = \frac{12(12 - 3)}{2} = \frac{12 * 9}{2} = 54$ в) Для двадцатипятиугольника ($n = 25$): $D = \frac{25(25 - 3)}{2} = \frac{25 * 22}{2} = 275$ **Ответ:** 464. а) 5 б) 54 в) 275 465. Чтобы найти количество сторон многоугольника, зная величину его угла, используем формулу для внутреннего угла правильного многоугольника: $угол = \frac{(n - 2) * 180^\circ}{n}$. Выразим $n$: $угол * n = (n - 2) * 180^\circ$ $угол * n = n * 180^\circ - 360^\circ$ $360^\circ = n * (180^\circ - угол)$ $n = \frac{360^\circ}{180^\circ - угол}$ а) Если угол равен $90^\circ$: $n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 90^\circ} = \frac{360^\circ}{90^\circ} = 4$. Это квадрат. б) Если угол равен $60^\circ$: $n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 60^\circ} = \frac{360^\circ}{120^\circ} = 3$. Это треугольник. в) Если угол равен $120^\circ$: $n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 120^\circ} = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$. Это шестиугольник. г) Если угол равен $108^\circ$: $n = \frac{360^\circ}{180^\circ - 108^\circ} = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$. Это пятиугольник. **Ответ:** 465. а) 4 б) 3 в) 6 г) 5 466. **Допущение:** Будем считать, что «одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм» означает, что есть три стороны, каждая из которых меньше первой стороны на 3 мм, 4 мм и 5 мм соответственно. Пусть первая сторона равна $x$ см, тогда остальные стороны будут $x - 0.3$ см, $x - 0.4$ см и $x - 0.5$ см. Периметр равен 8 см, значит: $x + (x - 0.3) + (x - 0.4) + (x - 0.5) = 8$ $4x - 1.2 = 8$ $4x = 9.2$ $x = 2.3$ см Тогда стороны равны: $x = 2.3$ см $x - 0.3 = 2$ см $x - 0.4 = 1.9$ см $x - 0.5 = 1.8$ см **Ответ:** 466. 2,3 см, 2 см, 1,9 см, 1,8 см. 467. Пусть вторая сторона равна $x$ см, тогда первая сторона будет $x + 8$ см, третья сторона $x + 8 + 8 = x + 16$ см, а четвёртая $3x$ см. Периметр равен 66 см, значит: $(x + 8) + x + (x + 16) + 3x = 66$ $6x + 24 = 66$ $6x = 42$ $x = 7$ см Тогда стороны равны: $x + 8 = 15$ см $x = 7$ см $x + 16 = 23$ см $3x = 21$ см **Ответ:** 467. 15 см, 7 см, 23 см, 21 см. 468. В выпуклом четырёхугольнике все углы равны, а сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Если все углы равны, то каждый угол равен $360^\circ / 4 = 90^\circ$. **Ответ:** 468. Каждый угол равен $90^\circ$. 469. Пусть углы $A$, $B$ и $C$ равны $x$. Угол $D$ равен $135^\circ$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$, значит: $x + x + x + 135^\circ = 360^\circ$ $3x = 360^\circ - 135^\circ$ $3x = 225^\circ$ $x = 75^\circ$ Тогда углы $A$, $B$ и $C$ равны $75^\circ$, а угол $D$ равен $135^\circ$. **Ответ:** 469. $A = 75^\circ$, $B = 75^\circ$, $C = 75^\circ$, $D = 135^\circ$. 470. Пусть углы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5, тогда углы можно представить как $x$, $2x$, $4x$ и $5x$. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$, значит: $x + 2x + 4x + 5x = 360^\circ$ $12x = 360^\circ$ $x = 30^\circ$ Тогда углы равны: $x = 30^\circ$ $2x = 60^\circ$ $4x = 120^\circ$ $5x = 150^\circ$ **Ответ:** 470. $30^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $150^\circ$.