Ты просишь меня решить уравнения: sin² x = 1/4; cos² x = 1/2; 2 sin²x + sinx - 1 = 0; 2 cos² x + cos x - 6 = 0; 2 cos² x - sin x + 1 = 0; 4 sin² x - cos x - 1 = 0; tg² x = 2; tg² x - 3 tg x - 4 = 0

Конечно, давай решим эти уравнения вместе! 620) 1) $\sin^2 x = \frac{1}{4}$; Это значит, что $\sin x = \pm \frac{1}{2}$. Теперь вспоминаем, какие углы дают нам такие значения синуса. * $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ (где синус равен $\frac{1}{2}$) * $x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$ (где синус равен $-\frac{1}{2}$) Здесь $k$ — любое целое число. 2) $\cos^2 x = \frac{1}{2}$; Значит, $\cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Опять же, вспоминаем углы. * $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k$ (где косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$) * $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$ (где косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$) И снова $k$ — любое целое число. 3) $2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$; Здесь можно сделать замену: пусть $t = \sin x$. Тогда у нас квадратное уравнение: $2t^2 + t - 1 = 0$. Решаем его: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни: $t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1$. * Если $\sin x = \frac{1}{2}$, то $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$. * Если $\sin x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$. 4) $2 \cos^2 x + \cos x - 6 = 0$. Снова замена: $t = \cos x$. Получаем $2t^2 + t - 6 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49$. Корни: $t_1 = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{3}{2}$, $t_2 = \frac{-1 - 7}{4} = -2$. Так как косинус не может быть больше 1 и меньше -1, то корней нет. 621) 1) $2\cos^2 x - \sin x + 1 = 0$; Тут нужно выразить косинус через синус, используя основное тригонометрическое тождество: $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Тогда уравнение станет таким: $2(1 - \sin^2 x) - \sin x + 1 = 0$. Раскрываем скобки и упрощаем: $2 - 2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0$, или $-2\sin^2 x - \sin x + 3 = 0$. Домножим на -1 для удобства: $2\sin^2 x + \sin x - 3 = 0$. Замена: $t = \sin x$, и получаем $2t^2 + t - 3 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$. Корни: $t_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1$, $t_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2}$. * Если $\sin x = 1$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. * Если $\sin x = -\frac{3}{2}$, то корней нет, так как синус не может быть меньше -1. 3) $4 \sin^2 x - \cos x - 1 = 0$; Выражаем синус через косинус: $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Уравнение становится: $4(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0$. Упрощаем: $4 - 4\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$, или $-4\cos^2 x - \cos x + 3 = 0$. Домножим на -1: $4\cos^2 x + \cos x - 3 = 0$. Замена: $t = \cos x$, и получаем $4t^2 + t - 3 = 0$. $D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 49$. Корни: $t_1 = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{3}{4}$, $t_2 = \frac{-1 - 7}{8} = -1$. * Если $\cos x = \frac{3}{4}$, то $x = \pm \arccos(\frac{3}{4}) + 2\pi k$. * Если $\cos x = -1$, то $x = \pi + 2\pi k$. 622) 1) $\tg^2 x = 2$; Значит, $\tg x = \pm \sqrt{2}$. * $x = \arctan(\sqrt{2}) + \pi k$, $x = -\arctan(\sqrt{2}) + \pi k$. 3) $\tg^2 x - 3 \tg x - 4 = 0$; Замена: $t = \tg x$, и получаем $t^2 - 3t - 4 = 0$. $(t - 4)(t + 1) = 0$. Корни: $t_1 = 4$, $t_2 = -1$. * Если $\tg x = 4$, то $x = \arctan(4) + \pi k$. * Если $\tg x = -1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$.