Реши номер 4: Найди промежутки возрастания и убывания функции f(x) = (x² + 5x) / (x-4)

Давай решим номер 4. Тебе нужно найти промежутки возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{x^2 + 5x}{x-4}$. Чтобы это сделать, нужно: 1. Найти производную функции $f'(x)$. 2. Найти критические точки, то есть решить уравнение $f'(x) = 0$ и найти точки, где производная не существует. 3. Определить знаки производной на промежутках, образованных критическими точками. 4. Сделать вывод о возрастании и убывании функции. Поехали! 1. Находим производную $f'(x)$: $$f'(x) = \frac{(2x + 5)(x - 4) - (x^2 + 5x)}{(x - 4)^2} = \frac{2x^2 - 8x + 5x - 20 - x^2 - 5x}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x - 4)^2}$$ 2. Находим критические точки: * Решаем уравнение $f'(x) = 0$: $$\frac{x^2 - 8x - 20}{(x - 4)^2} = 0$$ $$x^2 - 8x - 20 = 0$$ С помощью дискриминанта $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$, находим корни: $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{144}}{2} = \frac{8 + 12}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{144}}{2} = \frac{8 - 12}{2} = -2$$ * Производная не существует при $x = 4$. 3. Определяем знаки производной на промежутках: * $(-\infty, -2)$: $f'(-3) = \frac{(-3)^2 - 8(-3) - 20}{(-3 - 4)^2} = \frac{9 + 24 - 20}{49} = \frac{13}{49} > 0$ (функция возрастает) * $(-2, 4)$: $f'(0) = \frac{0^2 - 8(0) - 20}{(0 - 4)^2} = \frac{-20}{16} < 0$ (функция убывает) * $(4, 10)$: $f'(5) = \frac{5^2 - 8(5) - 20}{(5 - 4)^2} = \frac{25 - 40 - 20}{1} = -35 < 0$ (функция убывает) * $(10, +\infty)$: $f'(11) = \frac{11^2 - 8(11) - 20}{(11 - 4)^2} = \frac{121 - 88 - 20}{49} = \frac{13}{49} > 0$ (функция возрастает) 4. Вывод: * Функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[10, +\infty)$. * Функция убывает на промежутках $[-2, 4)$ и $(4, 10]$. **Ответ:** Функция возрастает на $(-\infty, -2]$ и $[10, +\infty)$; функция убывает на $[-2, 4)$ и $(4, 10]$.