Объясни каждый шаг при решении примеров номера 810: 1) (x²- x) (x³ + x)

Привет! Давай вместе разберёмся с этими примерами на нахождение производной функции. Буду объяснять каждый шаг, чтобы тебе было понятно. 1) Найти производную функции $(x^2 - x)(x^3 + x)$. Чтобы найти производную произведения двух функций, используем формулу: $(u \\\cdot v)' = u' \\\cdot v + u \\\cdot v'$, где $u = x^2 - x$ и $v = x^3 + x$. Сначала найдём производные функций $u$ и $v$: $u' = (x^2 - x)' = 2x - 1$ (здесь мы использовали правило, что производная $x^n$ равна $nx^{n-1}$ и производная суммы/разности равна сумме/разности производных) $v' = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$ (аналогично) Теперь подставим $u$, $v$, $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения: $(x^2 - x)(x^3 + x)' = (2x - 1)(x^3 + x) + (x^2 - x)(3x^2 + 1)$ Раскроем скобки: $= 2x^4 + 2x^2 - x^3 - x + 3x^4 + x^2 - 3x^3 - x$ Приведём подобные слагаемые: $= (2x^4 + 3x^4) + (-x^3 - 3x^3) + (2x^2 + x^2) + (-x - x)$ $= 5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x$ **Ответ:** $5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x$ 2) Найти производную функции $(x + 2) \sqrt[3]{x}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Теперь у нас есть функция $(x + 2)x^{\frac{1}{3}}$. Используем формулу производной произведения: $(u \\\cdot v)' = u' \\\cdot v + u \\\cdot v'$, где $u = x + 2$ и $v = x^{\frac{1}{3}}$. Найдём производные функций $u$ и $v$: $u' = (x + 2)' = 1$ $v' = (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3} - 1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ Подставим $u$, $v$, $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения: $((x + 2)x^{\frac{1}{3}})' = 1 \\\cdot x^{\frac{1}{3}} + (x + 2) \\\cdot \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$ Упростим выражение: $= x^{\frac{1}{3}} + \frac{x + 2}{3x^{\frac{2}{3}}}$ Приведём к общему знаменателю: $= \frac{3x^{\frac{1}{3}} \\\cdot x^{\frac{2}{3}} + x + 2}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{3x + x + 2}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{4x + 2}{3x^{\frac{2}{3}}}$ Можно ещё упростить, вернувшись к корням: $= \frac{4x + 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$ **Ответ:** $\frac{4x + 2}{3\sqrt[3]{x^2}}$ 3) Найти производную функции $(x - 1)\sqrt{x}$. Представим корень в виде степени: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Теперь у нас есть функция $(x - 1)x^{\frac{1}{2}}$. Используем формулу производной произведения: $(u \\\cdot v)' = u' \\\cdot v + u \\\cdot v'$, где $u = x - 1$ и $v = x^{\frac{1}{2}}$. Найдём производные функций $u$ и $v$: $u' = (x - 1)' = 1$ $v' = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ Подставим $u$, $v$, $u'$ и $v'$ в формулу производной произведения: $((x - 1)x^{\frac{1}{2}})' = 1 \\\cdot x^{\frac{1}{2}} + (x - 1) \\\cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ Упростим выражение: $= x^{\frac{1}{2}} + \frac{x - 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$ Приведём к общему знаменателю: $= \frac{2x^{\frac{1}{2}} \\\cdot x^{\frac{1}{2}} + x - 1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{2x + x - 1}{2x^{\frac{1}{2}}} = \frac{3x - 1}{2x^{\frac{1}{2}}}$ Можно ещё упростить, вернувшись к корням: $= \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$ **Ответ:** $\frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$ Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что-то ещё нужно объяснить, спрашивай!