Реши уравнение \sqrt{3} sin x + cos x = 2

Чтобы решить уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$, можно использовать метод вспомогательного угла. Вот как это делается: 1. **Введение вспомогательного угла:** * Разделим обе части уравнения на 2, чтобы получить:$$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 1$$ * Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\frac{1}{2}$ - это значения косинуса и синуса угла $\frac{\pi}{6}$ (30 градусов) соответственно. Тогда уравнение можно переписать как:$$\cos(\frac{\pi}{6}) \sin x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cos x = 1$$ 2. **Применение формулы синуса суммы:** * Используем формулу $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$, чтобы упростить уравнение:$$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$$ 3. **Решение полученного уравнения:** * Теперь нужно найти такие $x$, чтобы синус угла $(x + \frac{\pi}{6})$ равнялся 1. Это происходит, когда угол равен $\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число:$$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$ * Выразим $x$: $$x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число. Это и есть общее решение уравнения.