Ты просишь найти промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f(x) = (x² - 3)/(x - 2)

Привет! Давай решим твою задачу по шагам. Функция у тебя такая: $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x - 2}$. 1. **Находим производную функции** Чтобы найти промежутки возрастания и убывания, нам нужна производная. Используем правило деления: $f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2-3)(1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 3}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x-2)^2}$. 2. **Ищем критические точки** Критические точки - это где производная равна нулю или не существует. Производная не существует, когда знаменатель равен нулю: $(x-2)^2 = 0$, то есть $x = 2$. Теперь ищем, где производная равна нулю: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Решаем квадратное уравнение: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Можно разложить на множители: $(x-1)(x-3) = 0$. Значит, $x = 1$ или $x = 3$. 3. **Определяем промежутки возрастания и убывания** Отмечаем точки $1$, $2$ и $3$ на числовой прямой и определяем знаки производной на каждом интервале: * $(-\infty; 1)$: Берем $x = 0$. $f'(0) = \frac{0 - 0 + 3}{(0-2)^2} = \frac{3}{4} > 0$, значит, функция возрастает. * $(1; 2)$: Берем $x = 1.5$. $f'(1.5) = \frac{(1.5)^2 - 4(1.5) + 3}{(1.5-2)^2} = \frac{2.25 - 6 + 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} < 0$, значит, функция убывает. * $(2; 3)$: Берем $x = 2.5$. $f'(2.5) = \frac{(2.5)^2 - 4(2.5) + 3}{(2.5-2)^2} = \frac{6.25 - 10 + 3}{0.25} = \frac{-0.75}{0.25} < 0$, значит, функция убывает. * $(3; +\infty)$: Берем $x = 4$. $f'(4) = \frac{4^2 - 4(4) + 3}{(4-2)^2} = \frac{16 - 16 + 3}{4} = \frac{3}{4} > 0$, значит, функция возрастает. 4. **Записываем промежутки** * Возрастает: $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$ * Убывает: $(1; 2)$ и $(2; 3)$ 5. **Определяем точки экстремума** * $x = 1$ - точка максимума (функция меняет возрастание на убывание). * $x = 3$ - точка минимума (функция меняет убывание на возрастание). 6. **Находим значения функции в точках экстремума** * $f(1) = \frac{1^2 - 3}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2$ * $f(3) = \frac{3^2 - 3}{3 - 2} = \frac{6}{1} = 6$ **Ответ:** Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 1)$ и $(3; +\infty)$, убывает на промежутках $(1; 2)$ и $(2; 3)$. Точка максимума $x = 1$, $f(1) = 2$. Точка минимума $x = 3$, $f(3) = 6$.