Докажи признак средней линии треугольника в задаче 485

Для решения задачи 485 нужно доказать, что если в треугольнике ABC через середину M стороны AB проведена прямая MN, параллельная стороне BC, и эта прямая пересекает сторону AC в точке N, то MN является средней линией треугольника ABC. Это означает, что N — середина стороны AC. Решение: 1. Рассмотрим треугольник ABC, где M — середина AB, и MN || BC. 2. Проведём прямую через точку C, параллельную AB. Обозначим точку пересечения этой прямой с MN как D. 3. Так как AM = MB (по условию), и MB = CD (как противоположные стороны параллелограмма BCDM), то AM = DC. 4. Теперь рассмотрим треугольники AMN и CDN. У них: * $\angle AMN = \angle CDN$ (как соответственные углы при параллельных прямых AB и CD и секущей MN), * $\angle ANM = \angle CND$ (как вертикальные углы), * AM = DC (доказано выше). 5. Следовательно, треугольники AMN и CDN равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). 6. Из равенства треугольников следует, что AN = NC. Это означает, что N — середина AC. 7. Таким образом, MN является средней линией треугольника ABC, так как она соединяет середины сторон AB и AC.