6. a) Чтобы найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$, нужно решить уравнение $x(x + 4) = 0$. Это уравнение распадается на два случая: $x = 0$ или $x + 4 = 0$. Решая второй случай, получаем $x = -4$. Значит, значения $x$, при которых $g(x) = 0$, это $x = 0$ и $x = -4$.
б) Чтобы найти значения $x$, при которых $g(x) = 0$, нужно решить уравнение $\frac{4}{5-x} = 0$. Но дробь равна нулю, только если числитель равен нулю. В данном случае числитель равен 4, то есть он никогда не равен нулю. Значит, нет таких значений $x$, при которых $g(x) = 0$.
7. a) Чтобы проверить, существует ли такое значение $x$, при котором $\varphi(x) = 1$, нужно решить уравнение $\frac{6+x}{4} = 1$. Домножаем обе части на 4, получаем $6 + x = 4$. Вычитаем 6 из обеих частей, и получаем $x = -2$. Так что да, существует такое значение, и это $x = -2$.
б) Чтобы проверить, существует ли такое значение $x$, при котором $\varphi(x) = -0,5$, нужно решить уравнение $\frac{6+x}{4} = -0,5$. Домножаем обе части на 4, получаем $6 + x = -2$. Вычитаем 6 из обеих частей, и получаем $x = -8$. Так что да, существует такое значение, и это $x = -8$.
в) Чтобы проверить, существует ли такое значение $x$, при котором $\varphi(x) = 0$, нужно решить уравнение $\frac{6+x}{4} = 0$. Домножаем обе части на 4, получаем $6 + x = 0$. Вычитаем 6 из обеих частей, и получаем $x = -6$. Так что да, существует такое значение, и это $x = -6$.
8. а) Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x) = -5$, нужно решить уравнение $0,5x - 4 = -5$. Прибавляем 4 к обеим частям, получаем $0,5x = -1$. Делим обе части на 0,5, и получаем $x = -2$.
б) Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x) = 0$, нужно решить уравнение $0,5x - 4 = 0$. Прибавляем 4 к обеим частям, получаем $0,5x = 4$. Делим обе части на 0,5, и получаем $x = 8$.
в) Чтобы найти значение $x$, при котором $f(x) = 2,5$, нужно решить уравнение $0,5x - 4 = 2,5$. Прибавляем 4 к обеим частям, получаем $0,5x = 6,5$. Делим обе части на 0,5, и получаем $x = 13$.
9. а) Функция $y = 4x - 8$ определена для всех $x$, потому что нет никаких ограничений на то, какое число можно умножить на 4 и вычесть 8.
б) Функция $y = x^2 - 5x + 1$ тоже определена для всех $x$, потому что любое число можно возвести в квадрат, умножить на 5 и прибавить 1.
в) В функции $y = \frac{2x}{5-x}$ есть деление, а на ноль делить нельзя. Значит, нужно исключить те значения $x$, при которых знаменатель $5 - x$ равен нулю. Решаем уравнение $5 - x = 0$, получаем $x = 5$. Значит, область определения - все числа, кроме 5.
г) В функции $y = \frac{3}{(x-4)(x+1)}$ тоже есть деление. Значит, нужно исключить те значения $x$, при которых знаменатель $(x - 4)(x + 1)$ равен нулю. Это происходит, когда $x = 4$ или $x = -1$. Значит, область определения - все числа, кроме 4 и -1.
д) В функции $y = \frac{1}{x^2+1}$ тоже есть деление. Знаменатель $x^2 + 1$ всегда больше нуля, т.к. квадрат любого числа - число неотрицательное, то есть больше либо равно нулю, и прибавив к нему 1, мы получим число больше нуля. Значит, дробь определена для всех $x$.
е) В функции $y = \sqrt{x - 5}$ есть квадратный корень, а извлекать квадратный корень можно только из неотрицательных чисел. Значит, нужно, чтобы $x - 5$ было больше или равно нулю. Решаем неравенство $x - 5 \geq 0$, получаем $x \geq 5$. Значит, область определения - все числа, которые больше или равны 5.
10. а) $y = x^2$. Квадрат любого числа существует, поэтому областью определения этой функции является множество всех чисел.
б) $y = \frac{1}{x - 7}$. Эта функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть когда $x = 7$. Поэтому областью определения этой функции является множество всех чисел, кроме 7.
11. а) Область определения функции $y = x^2 + 2x$ - все числа, так как нет ограничений на значения $x$.
б) В функции $y = \frac{x-1}{1+x}$ знаменатель не может быть равен нулю. $1 + x \neq 0$, значит $x \neq -1$. Область определения - все числа, кроме $-1$.
в) В функции $y = \sqrt{9 + x}$ под корнем должно быть неотрицательное число. Значит, $9 + x \geq 0$, откуда $x \geq -9$. Область определения - все числа больше или равные $-9$.
12. **Допущение:** Движение эскалатора прямолинейное и равномерное.
а) Переведем время в секунды: $t = 2,25 \cdot 60 = 135$ с. Тогда $h = 0,75 \cdot 135 = 101,25$ м.
б) $h = vt$, где $v$ - скорость, $t$ - время, $h$ - глубина. Выразим время: $t = \frac{h}{v} = \frac{60}{0,75} = 80$ с. Переведем в минуты: $t = \frac{80}{60} = 1 \frac{1}{3}$ мин.
