Помоги мне найти наименьшее и наибольшее из значений функции f(x) = 3x² - 12x + 1 на отрезке L = [1; 4]

Привет! Давай разберёмся с этими заданиями. Тебе нужно найти наибольшее и наименьшее значения каждой функции на заданном отрезке. Вот как это делается: 1) $f(x) = 3x^2 - 12x + 1$, $L = [1; 4]$ - Сначала найдём производную функции: $f'(x) = 6x - 12$ - Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $6x - 12 = 0$, следовательно, $x = 2$ - Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 3 - 12 + 1 = -8$ - $f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$ - $f(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 48 - 48 + 1 = 1$ - Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно $-11$, а наибольшее значение равно $1$. 2) $f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 9x^2 + 48x$, $L = [0; 9]$ - Найдём производную: $f'(x) = \frac{3}{2}x^2 - 18x + 48$ - Приравняем производную к нулю: $\frac{3}{2}x^2 - 18x + 48 = 0$. Умножим на 2/3: $x^2 - 12x + 32 = 0$ - Решим квадратное уравнение: $(x - 4)(x - 8) = 0$, следовательно, $x = 4$ и $x = 8$ - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: - $f(0) = \frac{1}{2}(0)^3 - 9(0)^2 + 48(0) = 0$ - $f(4) = \frac{1}{2}(4)^3 - 9(4)^2 + 48(4) = 32 - 144 + 192 = 80$ - $f(8) = \frac{1}{2}(8)^3 - 9(8)^2 + 48(8) = 256 - 576 + 384 = 64$ - $f(9) = \frac{1}{2}(9)^3 - 9(9)^2 + 48(9) = 364.5 - 729 + 432 = 67.5$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 9]$ равно $0$, а наибольшее значение равно $80$. 3) $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$, $L = [1; 2]$ - Найдём производную: $f'(x) = 4x^3 - 16x$ - Приравняем производную к нулю: $4x^3 - 16x = 0$, то есть $4x(x^2 - 4) = 0$. Отсюда $x = 0$, $x = 2$ и $x = -2$ - Из найденных значений только $x=2$ лежит в отрезке $[1; 2]$ - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(1) = (1)^4 - 8(1)^2 + 3 = 1 - 8 + 3 = -4$ - $f(2) = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = 16 - 32 + 3 = -13$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 2]$ равно $-13$, а наибольшее значение равно $-4$. 4) $f(x) = x - 2 \ln x$, $L = [\frac{3}{2}; e]$ - Найдём производную: $f'(x) = 1 - \frac{2}{x}$ - Приравняем производную к нулю: $1 - \frac{2}{x} = 0$, следовательно, $x = 2$ - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2} - 2 \ln(\frac{3}{2}) \approx 1.5 - 2(0.405) \approx 1.5 - 0.81 = 0.69$ - $f(2) = 2 - 2 \ln(2) \approx 2 - 2(0.693) \approx 2 - 1.386 = 0.614$ - $f(e) = e - 2 \ln(e) = e - 2(1) \approx 2.718 - 2 = 0.718$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[\frac{3}{2}; e]$ равно примерно $0.614$, а наибольшее значение равно примерно $0.718$. 5) $f(x) = 2 \sin x + \sin 2x$, $L = [0; \frac{3\pi}{2}]$ - Найдём производную: $f'(x) = 2 \cos x + 2 \cos 2x$ - Приравняем производную к нулю: $2 \cos x + 2 \cos 2x = 0$, то есть $\cos x + \cos 2x = 0$ - Используем формулу двойного угла: $\cos x + 2\cos^2 x - 1 = 0$, или $2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$ - Решим квадратное уравнение относительно $\cos x$: $(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$, следовательно, $\cos x = \frac{1}{2}$ или $\cos x = -1$ - Найдём значения $x$: $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \frac{5\pi}{3}$ и $x = \pi$ - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: - $f(0) = 2 \sin(0) + \sin(0) = 0$ - $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{2\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598$ - $f(\pi) = 2 \sin(\pi) + \sin(2\pi) = 0$ - $f(\frac{3\pi}{2}) = 2 \sin(\frac{3\pi}{2}) + \sin(3\pi) = 2(-1) + 0 = -2$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \frac{3\pi}{2}]$ равно $-2$, а наибольшее значение равно $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.598$. 6) $f(x) = (x - 3)e^x$, $L = [1; 4]$ - Найдём производную: $f'(x) = e^x + (x - 3)e^x = (x - 2)e^x$ - Приравняем производную к нулю: $(x - 2)e^x = 0$, следовательно, $x = 2$ - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(1) = (1 - 3)e^1 = -2e \approx -5.437$ - $f(2) = (2 - 3)e^2 = -e^2 \approx -7.389$ - $f(4) = (4 - 3)e^4 = e^4 \approx 54.598$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[1; 4]$ равно $-e^2 \approx -7.389$, а наибольшее значение равно $e^4 \approx 54.598$. 7) $f(x) = \sqrt{5 - 4 \sin x}$, $L = [0; \pi]$ - Найдём производную: $f'(x) = \frac{-4 \cos x}{2\sqrt{5 - 4 \sin x}} = \frac{-2 \cos x}{\sqrt{5 - 4 \sin x}}$ - Приравняем производную к нулю: $\frac{-2 \cos x}{\sqrt{5 - 4 \sin x}} = 0$, следовательно, $\cos x = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$ - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке: - $f(0) = \sqrt{5 - 4 \sin(0)} = \sqrt{5} \approx 2.236$ - $f(\frac{\pi}{2}) = \sqrt{5 - 4 \sin(\frac{\pi}{2})} = \sqrt{5 - 4} = 1$ - $f(\pi) = \sqrt{5 - 4 \sin(\pi)} = \sqrt{5} \approx 2.236$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[0; \pi]$ равно $1$, а наибольшее значение равно $\sqrt{5} \approx 2.236$. 8) $f(x) = (x - 2)\sqrt[3]{x^2}$, $L = [-1; 1]$ - Найдём производную: $f'(x) = \sqrt[3]{x^2} + (x - 2) \cdot \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}} + \frac{2(x - 2)}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3x + 2x - 4}{3x^{\frac{1}{3}}} = \frac{5x - 4}{3\sqrt[3]{x}}$ - Приравняем производную к нулю: $\frac{5x - 4}{3\sqrt[3]{x}} = 0$, следовательно, $5x - 4 = 0$, то есть $x = \frac{4}{5}$ - Также нужно учесть точку $x = 0$, где производная не существует. - Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках: - $f(-1) = (-1 - 2)\sqrt[3]{(-1)^2} = -3 \cdot 1 = -3$ - $f(0) = (0 - 2)\sqrt[3]{0^2} = 0$ - $f(\frac{4}{5}) = (\frac{4}{5} - 2)\sqrt[3]{(\frac{4}{5})^2} = (\frac{4}{5} - \frac{10}{5}) \sqrt[3]{\frac{16}{25}} = -\frac{6}{5} \sqrt[3]{\frac{16}{25}} \approx -\frac{6}{5} \cdot 0.86 = -1.032$ - $f(1) = (1 - 2)\sqrt[3]{1^2} = -1 \cdot 1 = -1$ - Наименьшее значение функции на отрезке $[-1; 1]$ равно $-3$, а наибольшее значение равно $0$. Надеюсь, теперь тебе всё понятно! Если что, спрашивай ещё!