Объясни, как найти область определения функции в задании 1.4 а)

Сейчас помогу тебе разобраться с этими функциями и их областями определения! 1.4 a) $y = \frac{3x - 2}{5x + 3}$: Чтобы найти область определения этой функции, нужно посмотреть на знаменатель. Знаменатель не должен быть равен нулю, потому что на ноль делить нельзя. Значит, нужно решить уравнение: $$5x + 3 = 0$$ $$5x = -3$$ $$x = -\frac{3}{5}$$ Получается, что $x$ может быть любым числом, кроме $- \frac{3}{5}$. Область определения: $x \neq -\frac{3}{5}$. б) $y = \frac{6}{x^2 - 16}$: Тут тоже смотрим на знаменатель: $x^2 - 16$ не должен быть равен нулю. Решаем уравнение: $$x^2 - 16 = 0$$ $$x^2 = 16$$ $$x = \pm 4$$ Значит, $x$ не может быть равен ни 4, ни -4. Область определения: $x \neq 4, x \neq -4$. в) $y = \frac{5 + 6x}{2x - 4}$: Опять знаменатель: $2x - 4$ не должен быть равен нулю. Решаем: $$2x - 4 = 0$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$ Область определения: $x \neq 2$. г) $y = \frac{7}{25 - x^2}$: Знаменатель: $25 - x^2$ не должен быть равен нулю. Решаем: $$25 - x^2 = 0$$ $$x^2 = 25$$ $$x = \pm 5$$ Область определения: $x \neq 5, x \neq -5$. 1.5 a) $y = \sqrt{x^2 - 3x + 2}$: Здесь у нас корень, а под корнем должно быть неотрицательное число (больше или равно нулю). Значит, нужно решить неравенство: $$x^2 - 3x + 2 \geq 0$$ Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$ Теперь нужно проверить знаки на интервалах. Берём числа меньше 1, между 1 и 2, и больше 2. Например, 0, 1.5 и 3: - $x = 0: 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2 > 0$ - $x = 1.5: (1.5)^2 - 3 \cdot 1.5 + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0$ - $x = 3: 3^2 - 3 \cdot 3 + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0$ Получается, что $x$ должен быть меньше или равен 1, или больше или равен 2. Область определения: $x \leq 1$ или $x \geq 2$. б) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}}$: Тут у нас корень в знаменателе, поэтому выражение под корнем должно быть больше нуля (не равно, потому что на ноль делить нельзя): $$x^2 - 4 > 0$$ Решаем уравнение $x^2 - 4 = 0$: $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ Проверяем знаки на интервалах, например, берём 0, 3 и -3: - $x = 0: 0^2 - 4 = -4 < 0$ - $x = 3: 3^2 - 4 = 5 > 0$ - $x = -3: (-3)^2 - 4 = 5 > 0$ Значит, $x$ должен быть меньше -2 или больше 2. Область определения: $x < -2$ или $x > 2$. в) $y = \sqrt{x^2 + 4x - 12}$: Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю: $$x^2 + 4x - 12 \geq 0$$ Находим корни уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$: $$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$$ $$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$$ Проверяем знаки на интервалах, берём -7, 0 и 3: - $x = -7: (-7)^2 + 4 \cdot (-7) - 12 = 49 - 28 - 12 = 9 > 0$ - $x = 0: 0^2 + 4 \cdot 0 - 12 = -12 < 0$ - $x = 3: 3^2 + 4 \cdot 3 - 12 = 9 + 12 - 12 = 9 > 0$ Область определения: $x \leq -6$ или $x \geq 2$. г) $y = \sqrt{\frac{3}{49 - x^2}}$: Тут выражение под корнем должно быть больше нуля (не равно, потому что в знаменателе): $$\frac{3}{49 - x^2} > 0$$ Так как числитель всегда положителен (3 > 0), то знаменатель тоже должен быть положительным: $$49 - x^2 > 0$$ $$x^2 < 49$$ $$-7 < x < 7$$ Область определения: $-7 < x < 7$.