Найди площадь равнобедренного треугольника, если боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°

Задача 5 а) Площадь равнобедренного треугольника можно найти, зная боковую сторону и угол при основании. 1. Проведём высоту $h$ к основанию треугольника. Она разделит основание пополам и образует прямоугольный треугольник. 2. В прямоугольном треугольнике: боковая сторона равнобедренного треугольника является гипотенузой (20 см), а угол при основании равен 30°. 3. Найдём высоту $h$: $$\sin(30^\circ) = \frac{h}{20}$$ $$h = 20 \cdot \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \text{ см}$$ 4. Найдём половину основания $a/2$: $$\cos(30^\circ) = \frac{a/2}{20}$$ $$\frac{a}{2} = 20 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \text{ см}$$ $$a = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} \text{ см}$$ 5. Найдём площадь треугольника $S$: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} \cdot 10 = 100\sqrt{3} \text{ см}^2$$ **Ответ: $100\sqrt{3}$ см$^2$** Задача 5 б) 1. Обозначим равнобедренный треугольник как $ABC$, где $AB = BC$. Пусть высота, проведённая к боковой стороне $AB$, равна $h = 6$ см и образует с основанием $AC$ угол $45^\circ$. 2. Площадь треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. В данном случае, площадь можно выразить как: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$$ где $h = 6$ см. 3. Чтобы найти $AB$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и частью основания. Угол между высотой и основанием равен $45^\circ$, значит, угол между боковой стороной и высотой также равен $45^\circ$ (так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$). 4. Опустим высоту $BH$ на основание $AC$. Рассмотрим треугольник $ABH$. Угол $BAH$ равен $45^\circ$ (т.к. высота, проведённая к боковой стороне образует с основанием угол $45^\circ$). Значит, треугольник $ABH$ – равнобедренный и $AH = BH$. 5. В треугольнике $BHC$ угол $HBC = 45^\circ$ (т.к. высота, проведённая к боковой стороне образует с основанием угол $45^\circ$). Значит, треугольник $BHC$ – равнобедренный и $HC = BH$. 6. Так как $AB = BC$, то высота, проведённая к $AB$, равна высоте, проведённой к $BC$. Обозначим высоту, проведённую к $AB$, как $h_1$, а высоту, проведённую к $BC$, как $h_2$. Тогда $h_1 = h_2 = 6$ см. 7. Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2$$ Так как $h_1 = h_2 = 6$ см, то $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot 6 = 3 \cdot AB$. 8. Рассмотрим треугольник, образованный высотой, проведённой к боковой стороне. В этом треугольнике угол между высотой и основанием равен $45^\circ$. Тогда: $$\sin(45^\circ) = \frac{h}{BC}$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{6}{BC}$$ $$BC = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$$ 9. Площадь треугольника равна: $$S = 3 \cdot AB = 3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \text{ см}^2$$ **Ответ: $18\sqrt{2}$ см$^2$** Задача 6 1. Проведём $MP \parallel AB$, тогда $MP$ - средняя линия $\triangle ABC$ и $MP = \frac{1}{2}AB$. 2. $\triangle ABC \sim \triangle MPC$ с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$. 3. $\frac{AC}{PC} = \frac{40}{PC} = 2$, следовательно $PC = 20$ см, значит $AP = AC - PC = 40 - 20 = 20$ см. 4. $S_{ABC} = 2 S_{APC}$ или $S_{ABC} = 2 (S_{ANM} + S_{CNM})$. 5. У $\triangle ANM$ и $\triangle CNM$ общая высота $MN$, значит, их площади относятся как основания: $$\frac{S_{ANM}}{S_{CNM}} = \frac{AN}{CN} = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$$ $S_{ANM} = \frac{5}{3} S_{CNM}$. 6. С другой стороны, $S_{ACNM} = S_{ANM} + S_{CNM} = \frac{5}{3}S_{CNM} + S_{CNM} = \frac{8}{3}S_{CNM}$, следовательно $S_{CNM} = \frac{3}{8} S_{ACNM}$. 7. Площадь $\triangle ACN$ равна: $$S_{ACN} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MN$$ Поскольку $MN$ - высота и медиана (по условию), то $\triangle BNC$ - равнобедренный и $BN = NC = 17$ см. Тогда по теореме Пифагора из $\triangle MNC$: $$MN = \sqrt{BN^2 - NC^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \text{ см}$$ Площадь $\triangle ACN$ равна: $$S_{ACN} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot MN = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 8 = 160 \text{ см}^2$$ 8. Тогда площадь $\triangle CNM$ равна: $$S_{CNM} = \frac{3}{8} S_{ACN} = \frac{3}{8} \cdot 160 = 60 \text{ см}^2$$ Площадь $\triangle ANM$ равна: $$S_{ANM} = \frac{5}{3} S_{CNM} = \frac{5}{3} \cdot 60 = 100 \text{ см}^2$$ Площадь $\triangle APC$ равна: $$S_{APC} = S_{ANM} + S_{CNM} = 100 + 60 = 160 \text{ см}^2$$ 9. Площадь $\triangle ABC$ равна: $$S_{ABC} = 2 S_{APC} = 2 \cdot 160 = 320 \text{ см}^2$$ **Ответ: 320 см$^2$**