Помоги решить задачи по геометрии: 9. Две смежные вершины параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

9. Две смежные вершины параллелограмма и точка пересечения его диагоналей лежат в плоскости $\alpha$. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости $\alpha$? Ответ обоснуйте. Допущение: Параллелограмм плоский (все его вершины лежат в одной плоскости). Решение: Да, две другие вершины лежат в плоскости $\alpha$. Обоснование: Пусть даны параллелограмм $ABCD$, где точки $A$, $B$ и точка $O$ (точка пересечения диагоналей) лежат в плоскости $\alpha$. Точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$. Так как точки $A$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $AO$ лежит в плоскости $\alpha$, а значит, и точка $C$ лежит в плоскости $\alpha$. Аналогично, так как точки $B$ и $O$ лежат в плоскости $\alpha$, то вся прямая $BO$ лежит в плоскости $\alpha$, а значит, и точка $D$ лежит в плоскости $\alpha$. 10. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через одну из вершин треугольника? Решение: а) Да, если прямая пересекает две стороны треугольника, то она лежит в плоскости этого треугольника. Потому что две точки (точки пересечения) определяют прямую, а если эти точки лежат в плоскости треугольника, то и вся прямая лежит в этой плоскости. б) Не всегда. Если прямая проходит через вершину треугольника и не совпадает ни с одной из сторон, то она может не лежать в плоскости треугольника. Представь себе треугольник, лежащий на столе, и прямую, которая «торчит» из одной из вершин вверх, как антенна. Эта прямая не будет лежать в плоскости стола, где находится треугольник. 11. Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости. Доказательство: Пусть дана прямая $a$ и точка $A$, не лежащая на этой прямой. Рассмотрим любую прямую $b$, проходящую через точку $A$ и пересекающую прямую $a$ в точке $B$. Тогда две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ однозначно определяют плоскость (назовем её $\beta$). Так как точка $A$ лежит на прямой $b$, а прямая $b$ лежит в плоскости $\beta$, то и точка $A$ лежит в плоскости $\beta$. Таким образом, любая прямая, проходящая через точку $A$ и пересекающая прямую $a$, лежит в плоскости $\beta$, определяемой прямой $a$ и точкой $A$. Следовательно, все такие прямые лежат в одной плоскости.